FT

On pourra aux coordonnées rectangulaires æ, y, z substituer des coordonnées curvilignes p, q, r, tellement choisies que l'équation (2) se réduise à la forme

e désignant une quantité constante, et alors il ne s’agira plus que d'intégrer une équation aux dérivées partielles de l’ordre » entre l'inconnue 5 et les variables indépendantes p, q, r, en assujettissant l’inconnue 5 à vérifier certaines conditions relatives à une certaine valeur p de la variable r. Supposons, pour fixer les idées, qu’en vertu de ces

conditions w, ‘D,0i D 5 D 4

doiventse réduire, pour r = p, à des fonctions données des variables p, q. Sid'ailleurs l’équation transformée renferme la dérivée partielle D"# et peut être résolue par rapport à cette dérivée, on pourra développer par le théorème de Taylor la valeur de linconnue w en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de 7 — p, et l’on prouvera toujours de la même manière, non seulement que la série obtenue est convergente quand le module de la différence r — p ne dépasse pas une certaine limite, mais encore que la somme de cette série convergente représente l'intégrale cherchée.

Puisque les fonctions données de p, g, qui représenteront les valeurs de

M D ie TR

correspondantes à r—p, peuvent d’ailleurs être choisies arbitrairement, il en résulte que l'intégrale obtenue comme on vient de le dire renfermera généralement, ainsi qu’on devait s’y attendre, 7» fonctions arbitraires. Si, pour fixer les idées, on suppose »m = 2, c’est-à-dire si l'équation donnée est du second ordre, les deux fonctions arbitraires, introduites par les conditions ci-dessus énoncées, seront les valeurs de 5 et de D,w correspondantes à r = 9. On pourrait d’ailleurs remplacer ces deux fonctions arbitraires par celles qui représenteraient les valeurs de w correspondantes à deux valeurs particulières de la variable r; en d’autres termes, on pourrait assujettir l'intégrale d'une équation du second ordre à prendre des valeurs déterminées dans les divers points situés sur deux surfaces qui serviraient d’enveloppes intérieure et extérieure à un même solide.

Lorsqu'on fait usage de coordonnées rectangulaires, ou du moins de coordonnées rectilignes æ, y, 3, alors à chaque point de l’espace répond un seul système de valeurs de æ, y, x, et réciproquement. Mais ces conditions ne sont plus généralement remplies quand, à des coordonnées rectilignes æ, y, 3, on substitue des coordonnées curvilignes p, g, r. Ainsi, en particulier, si p, r représentent deux coordonnées polaires, savoir, un angle polaire et un rayon vecteur, tracés dans un même plan, la position du point correspondant à ces coordonnées ne

variera pas quand on fera croître ou décroitre l'angle polaire p d’un multiple quelconque de la circonférence 27. Cela posé, si une équation donnée aux dérivées partielles se rapporte à un problème de Mécanique rationnelle ou de Physique mathématique, si d’ailleurs l’inconnue et ses dérivées doivent être fonctions continues des variables indépendantes, il est clair qu’une intégrale obtenue à l’aide des principes ci-dessus exposés ne pourra être considérée comme fournissant la solution de ce problème, qu’autant qu’elle reprendra la même valeur pour les divers systèmes de valeurs des coordonnées qui répondront à un même point.

S IL. — Sur une transformation remarquable des équations homogènes

et de quelques autres.

Supposons que, F(æ, y, z, ...) désignant une fonction entière et homogène des variables æ, y, =, ..., on prenne

V—F(D,, D,, D:, ...); l'équation linéaire aux dérivées partielles (1) 19-20

sera ce que nous appelons une équation homogène. Supposons encore que, dans l'intégrale & de cette équation, l’on remplace les variables indépendantes +, y, z,... par d’autres p, q, r, ..., liées aux premières de telle sorte que, si r vient à varier, æ, y, z, ..., considérées comme fonctions de p, qg, r, ..., varient proportionnellement à r. Les équa-

tions qui subsisteront entre æ, y, z, ... et p, q, r, ... seront de la forme (2) HAUTS Y=6r, BY, ;

4, 6, Y, .…. désignant des quantités qui renfermeront les nouvelles variables p, g, ..., distinctes de r; et, lorsqu'on aura effectué le changement de variables indépendantes, on trouvera, comme nous l'avons

remarqué dans l’avant-dernière séance,

ul I (3) Les V,D” + ar PS TT ni V1 D, + PT » JA

Vos Vis... Vins Vn désignant des fonctions de p, qg, ..., D,, D,, .

qui ne renfermeront plus r ni D,.

Concevons maintenant que l’on pose

(4) r pe, s désignant une nouvelle variable, et p un coefficient constant. En sub-

stituant à la variable indépendante r la variable s, et en ayant égard à la formule

(5) D,(etxw) —ets(D,+a)x,

qui subsiste quelle que soit la constante &, on trouvera, non seulement

I I D,e=lkibes:- ” D ou = -e-“D,s, mais encore

De me" #D,(D, —1)®,

Dim se D, (D.— 1)(D,—2)5, et généralement à cd: Re = emMsSD,.(D,—1)...(D—m+i)o

ou, ce qui revient au même,

Cela posé, on tirera de la formule (3)

CŒEuvres de C.—- S,1, 1. VII. 4o

la valeur de E}'étant

(8) = VoD,(D;—1)...(D—m+i)+.. + VD (Di —1) + Vn-1Ds+ Ve Ajoutons qu’en vertu de la formule (8) on aura

(9) | D = 0 + CD +...+ Om1Ds+ Os

Clos Elus ce. Oim15 On désignant des fonctionside.p,g..:.:.D,,D., . qui ne renfermeront ni s, ni D,, et qui seront liées à V,, V,, ..., V,,, V,, par les formules

a Vos ..., PS di

EEE Oi1=Vi—

Or l'équation (1), jointe à la formule (7), donnera

ou, ce qui revient au même,

(11) (OoD* + 0D1+...+ Ou1Ds+ On)® = 0.

D'autre part, on tirera des équations (2) et (4)

(12) œpac, Fe 008, S = pyet,

Donc, pour transformer l'équation (1), supposée linéaire et homogène, en une autre équation linéaire qui soit de la forme (11) et renferme, avec l’inconnue 5, les dérivées de 5 relatives à la nouvelle variable s, sans renfermer cette variable méme, il suffit de substituer aux variables indépendantes x, y, z,... d'autres variables p, q, ...,s liées aux premuères de telle sorte que, si s vient à varier, æ, y, 3, ..., considérés comme fonc-

tions de p, q, ..., s, varient proportionnellement à l’exponentielle e*.

D Exemple I. — Si l’on transforme les coordonnées rectangulaires x, y, réduites à deux, en coordonnées polaires r et p, à l’aide des formules (13) LT CO8p, Y=rTMNp;:

alors des formules (13), jointes à l’équation

r —=pe,

on tirera (14) æ = pe COSP, y =pessinp et, par suite,

(15) Da + Di re # (D; + Di).

Done, si l'équation (1) se réduit à

np | (D?+D!)5—0,

cette équation, transformée à l’aide des formules (14), deviendra Gr, Ga (Di+D?)o=0,

ce qu'avait déjà remarqué M. Lamé. Au reste, il est facile de s'assurer a posteriori que toute fonction 5 de x et de y qui vérifie l’équation (16) est en même temps une fonction de p, s propre à vérifier l'équation (17). En effet, l'intégrale générale de l'équation (16) est de la forme (18) mg +yV—i) + xx —y Vi); et comme, en vertu des formules (14), on aura

DH YY—r= pe P NE D pi pes-PV"A, il suffira évidemment de poser

o(pes) = ®(s), x(pes) = X(s)

pour réduire l'équation (18) à

(19) m—=D(s+py—1)+X(s—py—i).

Or cette dernière valeur de s est évidemment l'intégrale générale de l'équation (17).

Exemple II. — Comme on tire de la formule (15)

(DE+ DiY= Let (D3+ DE) Le-#(Dÿ+ DH]

ou, ce qui revient au même, (Di +DiP= re (D +02) [D3 + (Di— 2)°], il en résulte que, si, à l’aide des formules (14), on transforme l’équation (20) (Di+D:)m 0, cette équation deviendra (21) (D? + D?)[D2 + (D,— 2) ]5 —0.

Si, en prenant toujours pour V une fonction homogène de D,, D,, D,, ..., on substituait à l'équation (1) une autre équation linéaire, homogène ou non homogène, et de la forme

(22) D?5 —=aV®,

t désignant une nouvelle variable indépendante, 7 un nombre entier quelconque, et a un coefficient constant, alors, en opérant toujours de la même manière et transformant l'équation (22) à l’aide des formules (12) et (7), on trouverait

(23) D} — Le last À à

la valeur de CO étant déterminée par la formule (9). Ainsi, en particulier, les formules (14) réduiront l'équation du mouvement de la chaleur, savoir

(24) D;5 —a(Di+D;)s, à la formule

% a à (25) D,5 — ae "D; +D;)s,

et l'équation du mouvement d'une plaque élastique isotrope, savoir

(26) D'o + a (D; + Di)w = 0,

EXTRAIT N° 206. 317 à la formule

(27) Die + Se (D; + D3)[D3 + (D,— 2) — 0.

$ LIL. — Sur l'intégration d’une équation linéaire du second ordre, spécialement de celle qui représente l'équilibre de la chaleur, et sur des intégrales

particulières de cette équation, qui se trouvent exprimées en termes finis. Considérons une équation linéaire et homogène du second ordre, c’est-à-dire une équation de la forme (1) Vue, V étant une fonction entière et homogène de D,, D,, D,, .... Comme

nous l'avons remarqué, un changement des variables indépendantes suffira pour réduire la valeur de V à la forme

(2) VeD+pi+pDi+...….

De plus, pour vérifier l'équation (1), en supposant V déterminé par la formule (2), il suflira de prendre