MAS
Be. :; MENT
on obtiendra la formule n og = +1
: r? 2 (11) m=—b(p—2r cosd + =)
Cette dernière valeur de & étant propre à vérifier l'équation (1) pour des valeurs quelconques des constantes b, o et pour toutes les valeurs de À, u, v, .. qui satisfont à la condition (9), on peut affirmer que l’équation (x) continuera d’être vérifiée si l’on prend pour 5 la dérivée
\ du second membre de la formule (11) relative à p, c’est-à-dire si l’on pose
r? 2 ° m=bD,(e—areoso+ 7) )
ou, Ce qui revient au même,
la valeur de A étant
On peut aisément, à l’aide de la formule (12), intégrer l’équation d'équilibre de la chaleur, et l'intégrer de telle sorte que l'intégrale acquière des valeurs données sur les diverses arêtes d’une surface cylindrique droite à base circulaire, ou dans les divers points d’une surface sphérique. En effet, supposons que la surface dont il s’agit, rapportée à des coordonnées rectangulaires æ, y, ou æ, y, :, se trouve représentée par l'équation (13) a+ y = p° ou par l'équation (14) | Rey +a = p,
e désignant le rayon de la surface cylindrique ou sphérique. Soient d’ailleurs p, r, ou p, q, r deux ou trois coordonnées polaires, liées aux coordonnées rectangulaires æ, y, ou æ, y, 3, dans le premier cas par les formules
(15) x = r COSP, FE FHUP:
dans le second cas par les formules (16) æ = Tr COSP, y =rsinp cosg, 3—rsinpsing.
Pour résoudre le problème énoncé, on devra, dans le premier cas, in-
tégrer l'équation
de manière que l’inconnue 5 se réduise, pour r — p, à une fonction
donnée Ÿ(p) de l’angle polaire p, et, dans le second cas, intégrer l'équation
(18) (Di+<D;+D;)s=0
de manière que l’inconnue s se réduise, pour r — p, à une fonction
donnée Ÿ(p, g) des angles p, q. Or il suit de la formule (12) que l’on vérifiera l’équation (17) en posant
p°— r° F y p?— 2pr COSÙ + 7°?
(19) v= A la valeur de cosè étant
COSÔ —
Eat — À COSp + Sinp,
et À, À, désignant trois constantes arbitraires dont les deux dernières devront être assujetties à la condition
Si, pour remplir cette condition, on prend À = COSp, bp =sinp, p désignant un angle arbitraire, on trouvera simplement (20) COSÔ — Cos(p —p}), et l’on pourra supposer, dans l'équation (19), A—WY(p),
W(p) désignant une fonction arbitraire de p. On vérifiera donc l’équation (17) en prenant
Li sant ds (21) PE Toprco( papier (Pi
EXTRAIT N° 906. su il y a plus : on la vérifiera encore en substituant au second membre de la formule (21) l'intégrale de ce second membre prise, par rapport à p, entre deux limites fixes, par exemple en supposant
2% 2 2 : ail ee a P—apreos(ppi+rs | (P)@P:
D'ailleurs cette dernière valeur de 5 se réduit, pour une valeur de r inférieure à p, mais très peu différente de p, à une intégrale définie singulière dont la valeur est sensiblement représentée par le produit
ar W(p).
Done la formule (22) fournira une intégrale de l’équation (17) qui aura la propriété de se réduire à Ÿ(p) pour r — bp si l’on prend
ou, ce qui revient au même, J F(p)= = (p).
Donc, pour obtenir une telle intégrale, il suffira de poser
: 27 dhss it | : #30) FLE apr eos p pie ri NP
) ap.
Il suit encore de la formule (12) que l’on vérifiera l'équation (18) en posant RES (24) = ns : FL (p®— 2pr cosd + r°)?
la valeur de cosè étant
CosÔd —
À + puy + vs
; — À CoSp + psinp COS g + v sin p sing,
et À, À, u, v désignant quatre constantes arbitraires dont les trois dernières devront être assujetties à la condition
+ p+ v—r, OEuvres de C.— S.I,t. VI. 4
Si, pour remplir cette condition, on pose À— COSp, p—=Ssinpcosg, »—sinpsinq, p, q désignant des angles arbitraires, on trouvera simplement (25) COS — CoSp cosp + sinpsinp cos(q — 4), et l’on pourra supposer, dans l'équation (24), A—W(p,q),
W(p, q) désignant une fonction arbitraire des angles p, q. Par suite, on vérifiera l'équation (18) en prenant
p? US r?
(26) ns 3 (bp, q) (p®— 2pr cosd + r?}?
ou même en prenant
KR ph? ir (27) sf j - ; W(p, q) dp dq 0 0 (
RE , 2\2 p°— 2pr COS + r?)
et attribuant à cosè la valeur que détermine la formule (25). D'ailleurs, sous cette condition, la dernière valeur de & se réduira, pour une valeur de r'inférieure à p, mais très peu différente de », à une intégrale définie singulière, dont la valeur sera sensiblement représen-.
tée par le produit Er (p,s) p sinp
Donc la formule (27) fournira une intégrale de l'équation (18), qui aura la propriété de se réduire à Ÿ(p,q), pour r = s, si l’on prend
psinp —=%(p,q)
ou, ce qui revient au même,
W(p,q)= Re YP, q)sinp.
EXTRAIT Ne 906. 393
Donc, pour obtenir une telle intégrale, il suffira de poser
: o r 27 pi — 7° (28) s=£2/ L : 3 Ÿ(P, q) sin p dp dq.
4 Jo J (o°
— 2p7 COSÔ + r?)°
Les formules (23) et (27) ont cela de remarquable, qu’elles fournissent pour les équations (17) et (18) des intégrales exprimées en termes finis. Pour en déduire les formules connues à l’aide desquelles on résout le problème de l'équilibre de la chaleur dans un cylindre droit à base circulaire, ou dans une sphère, en supposant la température constante, c'est-à-dire indépendante du temps sur chaque arête de la surface qui termine le cylindre, ou en chaque point de la surface sphérique, 1l suffit de développer les seconds membres de ces mêmes formules en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes de r. Remarquons d’ailleurs que, chacune des formules (23), (28), renfermant une seule fonction arbitraire Ÿ(p) ou d(p, g), ne saurait être considérée comme propre à fournir la solution la plus générale du problème ci-dessus mentionné, et doit plutôt être regardée comme représentant une intégrale particulière de l'équation (17) ou (18), qui remplit les seules conditions auxquelles l’inconnue se trouve assujettie dans l'énoncé de ce problème. La même observation s'applique à la formule que j'ai donnée, dans la séance précédente, pour résoudre le problème de l'équilibre de la chaleur dans un cylindre de forme quelconque. On arrive à des solutions plus générales de ces sortes de problèmes quand on se propose d'intégrer l'équation (17) ou (18) de manière que l’inconnue 5 acquière une valeur déterminée en chacun des points situés sur deux enveloppes, l’une extérieure, l’autre intérieure à un corps solide. Alors, en effet, les intégrales qu’on obtient renferment chacune, comme on devait s’y attendre, autant de fonctions arbitraires qu’il y a d'unités dans l’ordre de l'équation (17) ou (18), c’est-à-dire deux fonctions arbitraires. Je m’occuperai plus en détail de ces sortes d’intégrales dans un autre article, où j'établirai directement la proposition suivante.
Supposons qu’il s'agisse d'intégrer l'équation (Di +Di)æ—=0o
de telle manière que, pour deux valeurs différentes de r, représentées
par p et 00.
linconnue 5 se réduise à deux fonctions données de l’angle polaire p représentées par p(P) et x(P).
Alors, en posant, pour abréger,
on réduira (") le problème à l'intégration de l'équation (29) (D + D?)5—o, sous la condition que l’inconnue 5 vérifie, pour s — 0, la formule
D —op(p), et pour s — &, la formule m —YX(p).
Or, pour effectuer cette intégration, il suffira de prendre
Pi
