AGE

RE, e.

nn nes 4 bai du a re a Le

Sur l’interpolation dans le cas d’un grand nombre de données fournies par les observations.

Quand le nombre des valeurs données surpasse celui des termes que l’on conserve dans leur expression, l’interpolation peut être exécutée par diverses méthodes. Mais ces méthodes, dans chaque cas particulier, sont loin d’être également avantageuses; elles diffèrent entre elles soit par la prolixité plus ou moins grande des calculs, soit par la grandeur de l'erreur moyenne à craindre, tant qu’il s’agit d’interpolation de valeurs fournies par les observations et conséquemment affectées d’erreurs. Comme on ne peut gagner au delà d’une certaine limite sous un de ces rapports sans perdre sous l’autre, il est impossible de donner une méthode d’interpolation qui soit en général préférable à toutes les autres; car, suivant les cas, on tient plus ou à la simplification des calculs, ou à la précision des résultats. Si l’on ne connait qu’un petit nombre des valeurs d’une fonction interpolée, il se présente peu de ressources pour atténuer l'influence de leurs erreurs sur le résultat cherché, et alors il est important de tirer des données d’interpolation tout le parti possible pour diminuer l’erreur moyenne à craindre, ce qu’on ne peut faire qu’à l’aide de /a méthode des moindres carrés. Dans le cas contraire, le nombre considérable des données qu’on a à sa disposition, nous dispense de recourir à la méthode des moindres carrés qui exige des calculs trop longs. Alors, pour la simplification des opérations numériques, on peut bien sacrifier une partie plus ou moins considérable de ce que les valeurs données offrent pour apprécier le résultat cherché. Dans le Mémoire Sur les fractions continues, présenté à l’Académie en 1855, nous avons traité de l’interpolation parabolique d’après {a méthode des moindres carrés *), et nous sommes parvenu à une série qui fournit directement les résultats d’une telle interpolation, indispensable, comme nous venons de le voir, si le nombre des valeurs connues de la fonction interpolée est assez petit.

*) La traduction française de ce Mémoire, dont je suis redevable à l’obligeance éclairée de M. Bienaymé, vient de paraître dans le Journal de M. Liouville, T. III, 2me Série. 25*

Dans le présent Mémoire nous montrerons comment, d’après nos méthodes, on parvient à d’autres formules d’interpolation qui peuvent remplacer avec avantage celle dont nous venons de parler, en tant que son application, vu le grand nombre des valeurs données, cesse, d’une part, d’être importante, et de l’autre, devient peu praticable.

Des divers cas particuliers que peut présenter l’interpolation suivant le nombre plus ou moins grand des valeurs données, nous nous bornerons à considérer celui qui est la limite de tous les autres où le nombre des valeurs données est infini, Quoique, en réalité, ce nombre ne soit jamais infini, les formules qu’on trouve dans cette supposition peuvent être cependant d’une application utile; car elles présentent la limite vers laquelle convergent très rapidement les résultats d’interpolation, à mesure que ce nombre augmente, et il ne sera pas difficile de voir, dans chaque cas particulier, de quel degré d’approximation ces formules sont susceptibles d’après les valeurs données.

$ 1. Nous commencerons par exposer la solution du problème qui servira de base à nos recherches.

Problème.

Etant donnée une suite de valeurs de F(x) = A+ 4,x%+...+A,2" qui correspondent à des valeurs de x équidistantes et très rapprochées entr’elles, combiner les valeurs de F(x), par la seule voie d’addition et de sou-

straction, de manière à ce que le résultat final ne contienne que le terme aftecté du coefficient À,, et que ce terme soit le plus grand possible.

Solution. Soient (1) Fa), Fa. Fe) les valeurs données de (2) F(t)=4,+4A;x+....+A, 2".

En supposant que UE AU 2 RES F(x,),

à | Fa F(R4:42), ri (Gosse)

019 9 42m 0 0e 9 59 2imis rs vie tt tre l'as bre. de

soient les valeurs de F(x) prises avec le signe +, et

CÉUPSRS IE E DAN CSS ENT F(x,,.),

F (Dogs 401) à (Lots ++) sf (Lerstsras)

celles qui auront le signe —, on trouve que la combinaison cherchée des

valeurs F(x,), F(x,),....F(x,)

s'exprime par la formule

p=5-1-5" p=—=0+-0/+-5"/ U= 94-0/+-5°"+-5 Dre) Sra + Dre r)— D F(@)+.

p=0+1 U=0+0 AN nr +95"+1

Les valeurs

Mn Last de ve

étant, par hypothèse, équidistantes, cette expression, à un facteur constant près et qui ne change en rien la solution cherchée, est égale à

3 = 5-0" u=0+ 0” + 05"’ p=0+4-5"+-5""+ 05/7 Sr NOR ADS ICS AD ICA CARS AEDY CAT ARS EEE u=1 p==0+-1 p=0+-5+-1 0-5 pl

ce qui se réduit à

Lo4-" Lo+-5’+-5"" Lo+-5 +545" [ref F(x) dx + Fat | Fiaas +. L Li Lo+-<' Lo+-5’+-5"

les valeurs - HSE ON CR

étant très rapprochées entre elles.

Or, si l’on fait Ve Mis Doro = Mg Vote ts = Mo) et que l’on désigne par a et b les valeurs extrêmes de x dans la suite ; dé, es. cos

et par v le nombre des valeurs

ls Loos Los 4e") Me

l'expression précédente peut être représentée ainsi:

“a N2 "3 b IC dx — | F(x)dxz + | F(x)dx —..... + (—1) | F(x) dx. a 1 Le Ne Ny A cause de quoi notre problème se réduit à la détermination-des quantités Mo Nyse ee y) sous la condition que pour

on ait M3 b

o [Fee [3 F(x)dx + | F(x)dxz —..... +(—1) | F()dx=s1,, UP . Av ;

et que le facteur s soit le plus grand possible, en supposant, bien entendu, que, conformément au sens du problème, les valeurs

y Mis Ms gps + My O

présentent une série croissante.

$ 2. Pour tirer de ce qui précède les équations relatives à 0 Ns5++..%, NOUS remarquerons que la formule (1), en prenant

devient A] —0 + 2 — 273 + 2m... — 2(—1)"n, + (1) 0] + FA] —® +20) — 20 + 202 —,...: — 2(—1)"n°+(—1) m| ++ A] — a + 2n5— 27 +208... —9 (1) n8+ (1) p| + — A, 0 + 20, — Qn On, a — 9 (—1) nf + (—1)" 8! + A — 0 t# 9m ton tt 90 se 1) (pe) perd ( dome amants a Ce]

Re Re es + A, [—0" 49m on op n —2(—1)n 7421) 9" 4] = 4 L'

D'où résultent les équations

[a— In +2m—.............. + 2(—1)"n, —(—1) b = 0,

(2) La—2n +2m—............. +2(-1) n,—(-1) 0 —0, ar — LT lt te Rare Dada (—1) no ie prr2 en 0,

oi RES 27," + x pl fx "E 9 (—1) NT — (— 1) pri. 0,

avec la condition que la quantité

(3) s=— —. [a an "+ nr Dee) mt (1) p+]

ait la valeur la plus grande possible, et par suite la méthode usitée des maxima relatifs nous fournit ces équations:

UM=h+hn+h n° + + À,1",

n =hb+ln+x n° + + À,n,", où À, À, A9: -..7, Sont des inconnues auxiliaires.

Les dernières équations nous montrent que les quantités

Mi Mare «1

sont les racines de la même équation

AN +. ++ nl, — m0.

Comme cette équation est tout au plus de degré », et que les quantités M Mo: ne -1,

sont différentes entre elles, il en résulte que v, nombre de ces quantités, ne peut surpasser ». Donc, relativement au nombre », il n’y a que ces n + 1 hypothèses à faire:

Veshiven-!.,,.v=1,v=0,

De plus, on reconnaît aisément que la première hypothèse comprend comme cas particulier toutes les autres, tant qu’on admet des solutions où quelques unes des quantités

UPS An L'AOMTE 7 M

sont égales à db. En effet, si l’on a n=Y, 9, =0, 1,,=0,... Manga D

dans nos formules fondamentales (1), (2), (3), e termes s’éliminent, et le reste devient identique à ce qu’on trouverait en prenant

Verre, au lieu de N = Y,

C’est pourquoi, dans les recherches de n,, %,.:..1,, nous nous bornerons à la première hypothèse sur le nombre v, savoir: v — ». Or, pour cette valeur de v, les formules (2) et (3) nous donnent

G—2n+2m—............. + 2(—1)"n, —(—1)"b=—0, P— 2 + — ns sue ve + 2(—1)" n,2—(—1)" 0?

4 L 9 l 9 CES n:. | n pl — (4) <a D M so ce pe ae Ms +2(—1)"n, —(-1)" = dan tt + In — lue: A +9 et, pra a br? 0, QT —9n "+ ont — AR 9 (—1}" a Lo (—1}" DT —0, (5) LE 1 as +1 9 ir FO 9 n +1 n pri S=—;|a M +2% +21) 0,7 —(—1) 4.

Les équations (4) sont en nombre suffisant pour déterminer toutes les quantités n,, %,....n,. Ces équations pourront avoir plusieurs solutions, mais on distinguera facilement celle qui correspond à notre problème, en ayant égard à la valeur de

1 l S= — os [a +1 207 eh D ga Meta 0 (1), 1 (=1)° 1,

qu'on cherche à rendre aussi grande que possible. De plus, conformément à ce que nous avons vu, on rejetera toutes les solutions où les valeurs

y Ms Ms. M d

ne présentent pas une série croissante.

dé rh hist DER

$ 3. Il serait très difficile de résoudre les équations (4) par les méthodes ordinaires d’Algèbre; mais on y parvient très aisément à l’aide d’une méthode particulière, dont nous nous sommes servi dans le Mémoire cité plus haut; c’est ce que nous allons montrer.

En développant l'expression

1 2 2 2(—1}* (—1} — + er ae » + — T—a X—1M L — M T— æ—b

suivant les puissances décroissantes de x, on a

1 2 2 2(—1" (—1N — — . + T— 4 ‘XL —VM T — M T—Nn æ—b 1 9 n np

lt RAR nue... . + 2(—1) 9,—(—1) |

+- à La? 2m 2m — + 2(—1)" 0,2 —(—1)" w|

D SAR OU Ca ne oh a ne ee © € MAR es 0 do eee à

M [a nn +92(—1) na (1) p+]

D PP a el nee tte NS pie à ee 5 +2 6.

LE — [ar — nt + Cages LASER (—1)" nee (10 | rs An [art n° ?+- nee Save 2 PR 1)" AR ("| + ri [at 20, +20" —.... +21) na — (yo |

RER RE NN 0 Te NME D Te ee ire ee TS e ete" © Lol es: à + 67,6. © eo à ee € e «eo + à + 5 # + oe

s’ — 4 ue 27." + 27, — D he 9 (—1)" 7 — (—1}" M, RES 21 Le Re SEE ERe 9 (—1)" nn — (—1}" D

Ten ET les St ul une LOUES Manu Are) EN Se @ 0 Le à FE Let d Se + € +

nous obtenons

1 2 nil CM Gelh,

a + g T—a L—N LT—Y T—n L—b atr2 gn+s pn+4

D'autre part, en posant

(x — Mn) (G— 1). ... —= Ÿ (x),

nous trouvons

et par là l'équation précédente donne

2. 2@” (x) es 24’ (x) . (— 1} Se 21" {Este 178 Ses s' s” æ— a @ (x) d (x) æ—b at+2 aura gnrs

D'où, en intégrant,

log(x-a)-2loge(x)+210g{(x)-(-1)"log(x-b}-logC+ M. s'

s ali (n+2)atr2 (n+3)a +3 * ja

ou, ce qui revient au même, s s’ s"!

@—a)# (x) cerri n+ Den | n+s)atts LE

BE @—5ÿ T7 (x)

D’après la composition des fonctions @(x), (x), on voit que la plus haute puissance de x dans le développement de la fraction

aura pour coefficient 1, et comme le premier terme du développement de

Ce+1 é (n + 2)at +2 ge (n + 3)at+3

est C, l’équation précédente suppose

Cr et elle se réduit alors à celle-ci:

ur AA PANS A PA | (n+2)at 2 (n+3)at+2 A — @—0 7 (2)

ce qui nous donne

jf à 2 SEL ON ARTE : de (7) Ÿ = mn VE —b 0? e2xr1 2(n+2)at +2 2(n+38)attrs px T—a

C’est au moyen de cette formule que nous trouverons le coefficient s dans l'équation (1)

Un M2 îs b froar- |reas+ F(x)dx—....+(-1) | F(x)dx =54, a Un LE nv

et les fonctions

p(x), Ÿ(x) qui, d’après (6), déterminent les quantités ah. 6:

Mais pour y parvenir nous devons examiner séparément le cas de » pair et celui de » impair.

Le nombre » est pair.

$ 4. Dans le cas de » pair, l'équation (7) devient

Ÿ (x) Ps m0 onlti (nant? 2(n+8)an+s

(x) æ—a D'où il résulte

s s 22 s’ e' (x) —4 xæ—@ ?

et comme l’expression s’ s" e 242) 2Dn+3)an trs Ga RES ?

développée en série, ne contient # que dans les degrés inférieurs à —(n + 1), il s’en suit que la fraction

æ—b T— a un nombre pair, les fonctions @(x), L(x), déterminées par les formules (6),

sont du degré et dans ce cas la fraction *® ne peut représenter la va-

(x) leur de

est la valeur de

l+ à & 1 À 2%", exacte jusqu'à -. D'autre part, n étant

exactement jusqu’à -5+5, à MOINS qu’elle ne soit égale à l’une des réduites

$ de la fraction continue qui résulte du développement de Vie e2#1 De S

plus, comme cette réduite doit représenter Vi 22% exactement jus-

qu’à D et que son dénominateur ne sera pas de degré plus élevé que n

o(x) ou x?, la réduite qui vient après elle doit avoir un dénominateur de

degré supérieur à +

+- 1. D'où l’on voit que parmi les réduites de la À |

| : D Del | s fraction continue, résultant de — 2? celle qui détermine la va-

leur de est la dernière avec un dénominateur de degré inférieur à

= + 1. D’après cela, dès qu’on connaîtra la valeur de s, on trouvera la fraction 1e, et par là, les fonctions L (x), (x), dépourvues de leur commun diviseur. Mais en ayant égard à la composition des formules (1), (4), (5), (6), on voit que tous les facteurs communs des fonctions o (x), L (x) ne donnent naissance qu'aux valeurs n,, n, n,-..., égales deux à deux, et de telles valeurs de n,, %, n,3-..., dans les formules (1), (4), (5), ne produisent que des termes identiquement nuls.

Ainsi l’on s'assure qu’en dénotant par

degré inférieur à — + 1, et en faisant abstraction des facteurs communs des fonctions 4(x), o(x) qui n’ont aucune influence sur la composition de

nos formules définitives, on aura

Va=GP, p@)= 00

où C, est une constante, et par là, en vertu de (6), les quantités

M) UFr Sr UPT M4) CHR, seront déterminées par la résolution des équations Q, + 0,

Comme les quantités