LA

avec l’exactitude jusqu’à —-; donc cette expression ne J at 2

LAURE dénominateur de la réduite qui vient après 3. Eè TT devra être d’un

n+1 ï À ©, Or, d’après cela, on peut toujours trouver 2 2

Qn

degré supérieur à celui de

toutes les valeurs de s satisfaisant à nos équations. En effet, le dénominateur de la fraction

Pr

5 — db)

Qn 7 p(x)?

étant tout au plus du degré — l'expression . ne peut être que de degré

supérieur à — + 1. Donc, la réduite

Pa

5 va)

Qn p(x)?

avec un dénominateur de degré inférieur à -- + 1, sera immédiatement sui- Fn n vie de la fraction 9. , où le dénominateur est de degré supérieur à Cr nan”

D'où l’on voit que la fraction continue, résultant du développement de S

æ—0b l+- , . , . , V = «2%, n'aura pas de réduite avec un dénomivateur du degré

+ 1. Mais si l’on trouve toutes les valeurs de s, avec lesquelles l’ex-

pression S

æ — db CRT

jouit de cette propriété *), en examinant chacune d’elles à part, on distinguera toutes celles qui, conformément à ce que nous avons vu sur la frac-

an +1

Ca

Ainsi on parviendra à + les valeurs de s qui eee à toutes les solutions possibles de nos équations. Pour choisir parmi elles la valeur s qui résout notre problème, on exclura toutes celles qui conduisent à ses solutions impropres, c.-à-d., où les valeurs

tion ——, rendent le degré de Cas , supérieur à celui de

À, Mio Mas Mg Ms.) + h,

contre le vrai sens du problème, ne sont pas toutes réelles ou bien ne présentent pas une série croissante. Après cela, la valeur de s, numériquement

*) Dans le Mémoire intitulé: Sur les questions de minima qui se rattachent à la représentation approximative des fonctions, nous avons montré la marche à suivre pour trouver les valeurs d’une constante, déterminée par une condition de ce genre.

la plus grande parmi celles qui restent, correspondra, évidemment, à la solution cherchée de notre problème, où 1l s’agit de rendre la quantité

APE 1 at +1 y 2141 s—— [at 2m 49m... —(y#e] aussi grande que possible.

En suivant la marche indiquée, on finira toujours par trouver la valeur

de s qui résout notre problème et qui détermine, comme nous l’avons vu, toutes les autres inconnues de la formule

1 b [roëæ-f Fo de+ [code 5) + [rod =s4, a ny

Mais dans plusieurs cas particuliers la détermination de s se simplifie notablement; car souvent la série des valeurs parmi lesquelles on cherchera celle qui résout notre problème, se réduira à un seul terme qui ne pourra être que la valeur cherchée de s. — Remarquons encore que dans toutes ces recherches on pourra faire abstraction des valeurs imaginaires de s qui ne sont pas conformes au sens du problème.

Le nombre » est impair.

$ 6. Dans ce cas la formule (7) devient

Lu

s s dé

Ÿ (æ) SN. ler à 2(n40)atr? | D(n+r8)antrs Eh

P(X) V(x—a)(x—b) ce qui nous donne

: 9xl Fi 9xl-+1 HER s’ NE s” Se px) Le ( D(ne2)an tr. Anse ts 1) pa) vVa—aw td Va—a& b) :

Cette formule prouve que la fraction

Y(x) (x) ne diffère de l’expression

S xl +1

que par des termes d’un ordre moins élevé que =, et comme d’après :

(6), pour n impair, on trouve que œ(x), dénominateur de cette fraction,

nee, cela suppose qu’elle est égale à l’une des réduites

de la fraction continue qu’on obtient par le développement de l’ex-

pression

+1 V{œ— a) —b) De plus, en dénotant par Ph:

On S gti celle des réduites de la fraction continue, résultant de , qui V (t— a) (x — b) £ s D(x) st égale à ——, et par Fi eme Pn+-3 Qn+3 Pn +1 la réduite qui vient immédiatement après o — , on trouve que la différence n+l EE & s :s S Qxl +1 Pn+i 2xl +1 Y(x) € Re notes €

PU) ira 5 Qnti Ve 0 em

est du même degré que.

Qn-1-1 Qn-1-3 $ 2 2

D’où, suivant ce que nous avons remarqué relativement à la différence

PG) V&—a (x —5)

il résulte que la fonction Q, n+3 doit être de degré plus élevé que

En te en n+1 qu ie

Mais

Fi

comme = est égale à la fraction Ÿ® en mise sous la forme la plus simple, +