AO

et que o(x) n’est que du degré —, cela nous prouve que Q. sera de

degré supérieur à +, D'où l’on voit que la réduite

Pn+1 3 __ b(x) Qn+1 P(x)?

7 st suivie im-

dont le dénominateur est de degré non supérieur à

médiatement de la réduite Pos

Qn+- 3

RARE ; 3 ; avec un dénominateur de degré plus élevé que “=. Donc, parmi les ré-

duites de la fraction continue résultant du développement de l'expression

9pl+1 V{x — à) (x —b) la fraction Pn +1 RS Qn+1 p(x) $ . . 2 + ge 4 A 1 sera la dernière avec un dénominateur de degré inférieur ou égal à “©

Or, d’après ce que nous venons de montrer sur les réduites

Qn-+- 1 Qn+-3 2 2

et en suivant la même marche que dans les $$ 4 et 5, on parvient, relativement à la détermination des quantités

Mis Mo Mgs Mas) 5

dans le cas de » impair, à ces conclusions:

1) Les quantités M Ns) PS SR

No» Mas FR sont les racines des équations

où PP, Q Si désignent les termes de la dernière réduite de la fraction 2 2

continue, résultant du développement de

Er,

dont le dénominateur Q,,, est tout au plus du degré —

2) On cherchera la valeur de s parmi celles qui ne donnent pas à la fraction continue, résultant du développement de l'expression

+ valeurs de s qui jouissent de cette propriété on exclura, en premier lieu,

E rs Pn+1 à (x) toutes celles avec lesquelles la réduite -—— de , qui vient après Qu — ou) jm 2 pour dénominateur une fonction moins élevée que o ER et de plus, toutes nA+-1

celles qui, d’après le X 1, donnent des valeurs 1

Mio Mas Mss Mas - *

ne répondant pas à notre problème (Voyez le $ 2). Parmi les valeurs restantes celle qui est numériquement la plus grande sera égale à la valeur cherchée de s. Dans tout cela on fera abstraction des valeurs imaginaires de s.

$ 7. Pour montrer l’usage des méthodes exposées, nous allons chercher les coefficients de la fonction

F(x) — AE T+....+ A, dans les cas de n—0Q, ll; 265,4 0

Pour simplifier les calculs, nous supposerons que les valeurs données de Æ(x) sont comprises entre 4——} et æ—+h, ce qui revient à prendre dans nos formules a—=—h, b=+h.

hs dits iees PRE

Pour ces valeurs de a et b, et en supposant » pair, nous remarquerons (SS 4, 5) que la détermination du coefficient 4, se rattache au développe-

ment de l’expression

T—h 9% VE £ en fraction continue. Or, au moyen de la méthode ordinaire, on trouve aisément que la fraction continue, résultant de cette expression, a la valeur

à (s—2h) + 32h3 2x+h—; nee à 86 — 12h55 +. 60h? s4 — 720 h4 52 — 2880 h5 s + 2880 h6 (s — 2h) x + 10 [(s — 2h)3 + 32h%] x + etc.

En examinant la composition de cette fraction continue, on voit que ses trois premiers quotients ne cessent d’être du premier degré, et conséquemment, donnent des réduites avec des dénominateurs respectivement des degrés 0, 1, 2, 3, tant que les quantités

s— 2h, (s— 2h} + 3275, $5— 19h 55 + GO? st — 720h4 s2 — 2880 s + 2880A$

restent différentes de zéro.

Donc, pour que cela n’ait pas lieu, la quantité s doit vérifier au moins l’une de ces équations: | Ss—2h= 0,

(s— 2h} + 3228 — 0, S°— 12h 5° + GO? st — 720h4 52 — 2880 s + 288076 — 0.

D'autre part, en supposant consécutivement que la quantité s vérifie

chacune de ces équations, on trouve que la fraction continue, résultant de

EE RE re | : à é V “© 2%, dans ces trois hypothèses sur s, devient respectivement

z+h 1 s2(s — 6h) 48x38 +- etc.?

Ss—92h . 9% h — 5. + 35° — 30h 5° + 80h? s° — 240h4 s + 480h° 1920 (s — 2h) æ3 + etc. ?

| PANNE er

—9h}3 3 Mere 2h)3+-32h

24(5— 2h) æ + ss

S 2 , . È xæ—h 2x .

D'où, pour les réduites de V 7 € , On obtient

9) 1 2x—h+}is 3840(s—2h)axt+....

(9. 1? 2æ+h—E}s? 8840(s—2h)xt+....° °°?

10 1 2m—h+;s A48(s—92h)x?+12(s—2h}x+(s—2h$ + 32h ps ps ) +; 2x+h—1s? 48(s—92h)x? — 12(s — 2h}? x +(s — 2h} 32h35 q,? gs"?

en désignant par FD ... des réduites avec des dénominateurs de degrés 4 5 supérieurs à 3. | Ainsi nous parvenons à trouver tous les cas, où la fraction continue, S

4 —h 2x À : ; résultant de —- e”, n’a pas de réduites avec des dénominateurs des

degrés 1, 2, 3. D’après cela, en suivant la marche indiquée dans les $$ 4, 5, il est aisé de trouver la solution de notre problème pour n = 0, 2, 4. C’est ce dont nous allons nous occuper.

Cas de n —0.

$ 8. Dans ce cas on doit chercher la valeur de s parmi celles, avec nie æ—h 2x

lesquelles la fraction continue, résultant du développement de V +1=1. Or, S , a. , . T — h 2& , .

d’après ce que nous avons vu sur les réduites de V z7 € » cela n'a lieu

que dans le cas où

n’a pas de réduite dont le dénominateur soit du degré

$s— 2h = 0, et comme cette équation ne donne qu’une valeur de s 82h,

nous concluons sur le champ que c’est elle qui résout notre problème. Pour trouver les quantités

M: UPS M3: mount nous chercherons parmi les réduites (8), obtenues dans l'hypothèse

celle qui est la dernière avec un dénominateur de degré inférieur à ? + 1 = 1. Comme cette fraction est ;, il s’en suit

et par là on reconnaît que le nombre des quantités

Mis Mes ge, qui se déterminent par les équations 3 se 0, Q, = (4 2 2

se réduit à O.

Or, en portant dans la formule (1) la valeur trouvée de s et en réduisant la série des valeurs

Min Mes My) 0 —h, +h, on obtient, pour n = 0 et /— 0, + h | réa 4, —h

équation qui se vérifie aisément, en remarquant que dans le cas de n = 0, la fonction F(x)=4,+4,2+....+ 4,2

devient égale à une constante.

Cas de n — 2.

$ 9. Sin — 2, on cherchera la valeur de s parmi celles avec lesquelles la fraction continue, résultant de l’expression S