M M3 * - SELS

Ms Musee.) nous obtenons les équations

Q,=22+h—5s—=0, D'où il résulte

et en portant ici la valeur trouvée de s, on a définitivement

I 1 m=—ÀV., M=FAV— En vertu de ces valeurs de

8, M1) Mo»

et en remarquant que dans le cas actuel

kes 0, a— — h, b— + h,

la formule (1) nous donne

—hY } +hV } h ’ [rade F(x)dx+ | F(x)dxæ —2(1—7V4)h4,.

—h —hV ; hV;

Cas de n — 4.

$ 10. Nous avons vu ($ 7) que la fraction continue, résultant du déve-

loppement de l’expression S

æ—h 9% VE Es n’a pas de réduite avec un dénominateur du degré 3 seulement dans le cas où s remplit l’une des équations

(s — 2h} + 32h — 0, 85 — 19h 55 + 60h2st— 7920h4 52 — 2880h s + 2880h° — 0.

D’après cela, comme le nombre +- 1, pour » —4, devient 3, on cher-

chera, suivant le $ 5, la valeur de s parmi les racines réelles de ces équations.

D'autre part, comme, dans la supposition

(s— 2h) + 3215 — 0, nous avons trouvé que les fractions réduites sont

1 2æ—h+}s 3840 (s — 9h) æt +...

1? 2æ+h— 15? 3840 (s — 2h)at +..." ""?

et que la fraction 2æ—h+1is 2æ+h—1s?

la dernière avec le dénominateur de degré inférieur à 3, est suivie de la fraction

3840 (s — 2h)at +....?

dont le dénominateur n’est pas de degré supérieur à celui de

ati

nous concluons que l’équation (s— 2h) + 32h = 0

ne saurait donner la valeur cherchée de s, et par conséquent, qu’on doit la chercher parmi les racines réelles de l’équation

S°— 12h s° + GONE? st — 720ht 82 — 28SOR s + 2880R6 = 0,

ni siicnt in ss

Or, en cherchant les racines réelles de cette équation, on trouve que l’une d’elles est comprise entre s— 6h et s— 7h, et l’autre entre s — 0 et s— À. Pour reconnaître parmi ces valeurs de s celle qui se rapporte à notre problème, nous passons aux valeurs de

Mis Mas My.

qui en résultent.

Comme dans le cas de S— 19h 5 + GORE st — TION 52 — 2BBOR s + 28804 — 0, d’après (10), les réduites de la fraction continue qui résulte de

2%—h+}s A48(s—2h)a?+12(5—2h)x+(s—2h) +328 ps 7 2x+h—1s 48(s—92h)ax?— 12(s — 2h)? x +(s — 2h} + 32h57 47°"?

sont

et que parmi elles la dernière avec le dénominateur de degré au dessous de 5 + 1 — 3, est

nous trouvons, pour la détermination de

Ms M5 ++)

; Mar Muse) les équations

Or, on reconnaît que ces équations n’ont point de solution réelle, si s surpasse 2 k. D’où nous concluons que la racine de l’équation

$9— 19h 5° + GO? st — 720h4 s? — 2880 s + 2880R = 0, comprise entre s — 6 h et s — 7 h, ne donne pas de valeurs de

Mo Mar Mas Mrs

propres à la solution de notre problème, et, par conséquent, que c’est son

autre racine, comprise entre s—0 et s —h, et dont la valeur approchée est 0,83446 k, qui correspondra à notre problème.

En portant cette valeur de s dans les équations que nous avons trouvées pour la détermination des quantités

Mo Mecs

Mer Messe 20

on à a+ 0,29138hx — 0,543627 = 0,

et comme les racines de ces équations, disposées par ordre de grandeur,

sont — 0,89725h, —+0,60587,

— 0,60587k, <+0,89725h, nous concluons qu’on aura

Ainsi nous trouvons les valeurs des quantités

Sy Mis Mer Mg» Ma pour » — 4 et en prenant

l=0, a=—Rh, b=+h.

D’après cela la formule (1) nous donne

—0,89725h *—0,60587h r0,60587h 0,89725h h fre F(x) dx + | F(x)dx — | F(x) dx + | F(x)dæ—0,83446h4,. —0,89725h —0,60587h 0,60587h 0,89725h

Cas de n — 1, 3, 5.

$ 11. En cherchant pour ces valeurs de n la solution de notre problème, relatif à la détermination de À, et en prenant toujours

on parvient définitivement aux formules identiques à celles que nous venons de trouver pour

respectivement; c’est ce qu’on pouvait prévoir, en remarquant que dans les formules

h [re dx = 2h À,, —h

—h V } hV: h 3 | F(x)dx — | F(x)dx + | F(x)dx = 2 (1—V4hA

—h —hV LV; —0,89725h p—0,60587h 0,60587% 0,89725h h Jre dx — | F(x) dx + | F(x) dx — | F(x) dx + | F(x) dx—0,83446h4,, —h —0,89725h —0,60587h J 0,60587% 0,89725h

tous les termes de la fonction F(x&)= 4,+A,%+....+4 2

avec les puissances impaires de x s’évanouissent.

$ 12. En cherchant de la même manière la solution de notre problème pour

et en supposant toujours a = — h, b — + h,

nous parvenons définitivement à ces formules: Cas de # — 1 ou 2.

0 h ECC F(x) dx = — RAÀ..

Cas de n — 3 ou 4.

hV} hV} J rw - [re ) dx + A - FU) de = (2 — 1)7 À.

7 —h Ÿ } hV;

Cas de n — 5.

De même pour / — 2 et en supposant successivement n — 2, 3, 4 5 nous trouvons:

Cas de » — 2 ou 3.

—1h +)h h [Fo dx — | F(x)du+ | F(x)dx = WA.

Cas de » — 4 ou 5.

—0,87305k r—0,37305h r0,37305k 0,87305h h Jr (x) dx — | F(x) dx + |F (x) di — | F(x) dx + | F(x)dx=-0,15139%%A —h —0,87305%

En prenant /— 3 et n — 3, 4, 5, nous obtenons ces formules

Cas de n — 3 ou 4.

Vih 0 Vih h [rc da — | F(x)dx + | F(x)de — | F(x)dx =— 7h, —}h Vi} 0 Vih Cas de n — 5.

—0,89945h r—0,55589h rO | F(x) dx — | F(x)dx + | F(x)dx Jah J—0,89945% ]—0,55589h — 0,05901%' À,.

r0,55589A r0,89945h ch — | F(x)dx + | F(x)dx — | F(x)dx Jo J0,55589h J 0,89945h

Le cas de ! — 4 et n — 4 ou 5 nous fournit l’équation

V5+1, A V5H1, 4 4 h [ro ufr A F(x) dx — | F(x) dx + F(x) de = 5 A, ia MA, V5—1, V5+1 4 4

Enfin, pour le cas de ! — 5 et n — 5, on obtient cette formule:

73 y3 EE 1 —1h 0 1h 2 h I F(x) ar [F6 as [re as [F6 ar [rc dx | F(x)dæ=—# h° A. —h LL POS À 2 ,h 3, 2 2

$ 13. D’après ce que nous venons de trouver il est facile de composer la table des valeurs de v, 8, 1,, %o, ss M,--.. dans les cas de

et en prenant pour limites de x les valeurs — h et +}. Une telle table se trouve à la fin de notre Mémoire, et on verra dans la Section IV le parti qu’on peut en tirer pour l’interpolation. Il est désirable que cette table soit prolongée jusqu’à des valeurs de » plus considérables.

$ 14. Dans les paragraphes précédents nous avons donné la méthode générale pour trouver, suivant notre problème, les quantités

S, M Mo M3. 8, € dans la formule

“ 2 ns b [re F(x) dx + | F(x)dx —... + (y [rod=s4, a "1 ur Av

quel que soit À,, coefficient de la fonction F(x) = 4,+4A,2+....+4,2

que l’on cherche à déterminer. Nous allons montrer maintenant que cette méthode est susceptible d’une simplification notable dans le cas particulier, où il s’agit de la détermination de À,,, dernier coefficient de la fonction

Nous verrons que dans ce cas il est aisé de trouver directement les valeurs de

8, M Mo » Mg.)

— Al4 —

quel que soit le nombre », et nous montrerons plus tard comment on peut en tirer une nouvelle formule d’interpolation.

Nous supposerons toujours, pour simplifier nos formules, a——h, b=h,

et nous commencerons par le cas de x impair.

Cas de » impair.

$ 15. En faisant dans les formules du $ 6 a——h, b=+h, nous trouvons que, dans le cas de » impair et {= n, les quantités Hs mire es