LAS

seront représentées, comme nous l’avons vu ($ 1), par la formule

uit LP T ] F(x) dx — | F(x)dx +... (| F(x) dx.

EN "1 "y

D’après cela toute la difficulté de la détermination des coefficients

se réduit à l’évaluation des intégrales

[ro dx, [ro A2... .. [ F(@) dx.

Ti 1 ny

Or, comme ces intégrales, avec une approximation plus on moins grande, peuvent être évaluées au moyen d’un nombre limité des valeurs de F(x), il est facile de comprendre qu’on peut bien profiter de ces expressions déterminant les coefficients de :

tant qu’on à un nombre suffisant de valeurs de (x), à l’aide desquelles les

intégrales MN N2 Ti Far, | F(x) dx,... À F(x) dx

T Qi "y

sont évaluables avec une approximation suffisante.

$ 22. Quant à l'évaluation des intégrales

re dx, [ro ous fr (x) dx,

Ta M1 Qy

qu’on aura à faire dans les applications de nos formules, cela ne présente aucune difficulté.

Pour y parvenir plus aisément, on n’a qu’à remarquer que les intégrales

" "MN Ti I (ed, | F(x)dzx,.... Î F(x) dx ”

Ti fi "y

désignent respectivement les aires de la courbe

comprises entreæ =, etæ—=1,,2—=10, t—%,....4— 0, et T —%X,, et que chacune des valeurs données de F(x) détermine l’un des points de cette courbe. Ainsi l’évaluation des intégrales en question se réduit à ce problème de géométrie:

Etant donnée une suite de points, déterminer pour la courbe, passant par ces points, les aires comprises entre des limites données.

Or, un tel problème est susceptible d’une ‘solution approchée, qu’on trouve aisément. Si l’on a la représentation graphique de la courbe

construite d’après les valeurs connues de F(x), on trouvera ces aires directement à l’aide du planimètre. Dans le cas contraire, on pourra trouver ces aires à l’aide d’un calcul très simple, en prenant pour la courbe le polygone déterminé par les points donnés. Ainsi, en supposant que les valeurs connues de F(x) sont

Fe), F&)....F(a), F( F(&), F(&

PE ri) MT?

et que les quantités É=T, 2x

sont comprises respectivement entre æ, et æ

x et x 6+1? "T l’aire de la courbe

74 On trouve que

entre t—%, et æ—X, s'exprime approximativement par cette formule très simple:

41-20) Ets) -(to—-Xo) Ft5-41) 1 af” en eos To) Fa) 1 (er —X) Far) — (tr —X) Fr, 1) D on jFo) ns t+1

Pour donner une idée nette du degré de précision de cette formule, remarquons que la différence entre l’aire de la courbe et celle du polygone, entre les limites x = x, et x — X, est égale à

(14) — (x gi | x D) + us GT + ss + (& — x, .) + (X-x,) (8x, ,—2,-2X)-(x,-x (3x, 2%)

d RAD

N étant une moyenne des valeurs de entre =, et x = À.

$ 23. Avec la formule (13) que nous venons de mentionner on trouve aisément la valeur approchée des expressions de la forme

['reas— F() d+....+(—1) F(x) da,

" "1 Ay d’après les valeurs connues de F(x) F(x,), F(a),....F(x,).

Pour y parvenir on commencera par chercher dans la suite

%;, Lo, LA ] .T;

les couples des termes qui sont respectivement les plus proches des quantités UE No 13° LS 0,1) 1, :

En désignant ces termes par

X X HA HA x x Te : x : x TL {’’ s'41? i” ? ELA | 0 —1) 01) 4 0) ? AUS] ?

on trouvera que les quantités

Li, Ms Nos + My) À;

sont comprises respectivement entre %, et æ, y, @t Zn, dir OÙ Girys,

x x x x x x ? ê 6 611 0) et 1 et .. D’après cela,

en posant successivement dans la formule (13)

Lyrrr, Lys) . 6e

L=%,, À =, D = Di, Los = Das D = By Ton = Tru Do Ur À = Vo; Bo Li, Boss = Vita Ur = ir, Lo Mi) TL, — 3) x = M3; x = L;r, (RP = Lyrr41 X. = Livr, Va — Lys ,

TN, ;; X=—1,, TX (5); Toy Bon), ? Tea (js Tri 1) ? Lo 4e X = Mgr Ve Pay Von his À re Dis Dress — Li

on obtient, pour les aires de la courbe y = F(x)

entre T—X, et T—M, L—=M et 2—Mn, T—=Mm% et T—=My,...., TN, , et T1, 4—=1, et 4—X, et conséquemment pour les intégrales

CAT N1 2 Qy—1 ny

les expressions approchées suivantes:

5 1 1 1 | 1 JF (ada=; (2,2) Fa) (2-2) Fe) (do) Flag). +5 (i4i-Gir1)F (x)

Ti Gé mn (as) — (it — 3 F'(œi #1)

2 (æi+1 — æi’) ?

N2 ii Fr) (ai mn Fœi-#1) 1 / 1 Jo (æ)dx=— : (ar ET +(iso-%r)F (dia) dires Dire) E(tir+) f1 ke (oi+1 ne) Far) —(œi 102) Fair #2) Haut Sirar Gi) @)— - : Fr Re 2 ?

di) ai) (ain) F(i#1) 1 . 1 fret Se Tr ere Se (tr "42 Li) F (dir) dires Dir) F (Bis) Gorraa-n Es") (arr 00) (ri 43) He rm (a) — ee ne, :0—1) (—1) 400 7 0—1) F(x)dx— +1 e î +1 ie y, 741) y—1 î +1 î tn ie Fe Gun PE NE) EEE (5 15e +5 Co 0) Co Cou 0) "3, 4 æ NY Fax —(x —1,)ŸF(x de a ED CG En) 1e —e JMS je 2 (8 (y —T (y) 2\ gs 0) 041 "y gr 40)

So ; (ds) F(t 1) + Sa) F(&).

D'où, en faisant pour abréger,

= —2)Fa), Mr) F7), M= (x) Fr)...

(15) e -(—1)" F(æ) dx+(—1) Fu) de—

N2 Ny—1 ny : if +M+. + Mo-Mo,s-Moss— Mit M, tot Min Miss) Mn — (2) Mo) Mon... +0" bn (ii — mm Fr) — (ir — mn F (as #1) As (œit#1 — 02) F (æi”) — (ai — 1) F(xi'+1) Qi'+1 — Ti Di 41 — di” Co EG) Go EG en)

ar "4

C’est ainsi qu’on aura les valeurs approchées des expressions de la forme

[re )dx — [re dx +- Fe) dx —. so 1) F(x) dx +-(—1) [ro

Qy—1

qui déterminent tous les coefficients de la fonction F(x)=4,+1A,2+....+ 24,2".

$ 24, En vertu de ce que nous avons vu, d’une part, sur la détermination des coefficients de la fonction

par des équations de la forme

s À [re dx — je dx +- Ta) dt —..... +(—1) | F(x) dx, * Ny

et de l’autre, sur l’évaluation approchée de l’expression

Jr (x) dx — [r (x) dx +- F (x) dx — ..... +(—1) F (x) ds Lo

T 1 LP Ay d’après les valeurs connues de F(x)

tous les coefficients de la fonction F(x)=4,+4A2+....+ 14,2

seront donnés par la même formule

& À 47 +M, re +, Re me | Lee) M NM YU,

(16) 2 mm pce Gœir)—(æir 02) (œi +1) | Dé +1 — Li Dai — 0”

ss 2F 1 NEC HTC ME ?

—1) bis …

x = ya

en prenant pour 8, M1) Mo > - HE -1,

les valeurs qu’on obtient dans les suppositions de

EmmO er 2...

et pour

Tr, Viry) Lyr, Virp ) ... DAUE Po,

les termes de la suite

LR NE EE 7

les plus proches respectivement de

Ms Melo MS

$ 25. A l’aide de la méthode, donnéc dans les $$ 4, 5, 6, on trouvera toujours les quantités

qui entrent dans la formule (16).

Mais dans les cas ordinaires de la pratique, où la fonction

reste de degré inférieur à 6, on peut, avec le secours de la table, jointe à notre Mémoire, s’épargner la peine de chercher ces quantités. Cette table contient les solutions de notre problème dans les cas de

n—0, 1, 2, 3, 4, 5, et en nai pour limites de x les valeurs —h, +h.

Donc, toutes les fois que dans la suite des valeurs données de F(x)

F(x), F(x),....F(x,), On aura PT et que #, dans l’expression de

ne surpassera pas 5, les quantités

S, M; M9: -1, pourront être déterminées par notre table, en prenant

De plus, il n’est pas difficile de remarquer que si l’on cherche, au moyen de notre formule (16), les coefficients du développement de F(x)

suivant les puissances de | Li + Li

quellesque soient les valeurs de x, et x,, les quantités

Me Mister 4 dans les cas de n=0, 1,2, 5, 45%,

seront aussi données par cette table, et que pour cela on doit prendre

Li — X En effet, si l’on pose

Li + Lj S'hucntirene sis 1 X

et que l’on cherche, d’après (16), les coefficients de la fonction

F@)= F(AES + X)=K+KX+..+ K,X",

en supposant connues ses valeurs pour

AS RS TD à

[El correspondantes à celles de TT, Do... .,

on trouve, pour la détermination des coefficients