K,= TS
et par là on obtient
Ko De — 0,0003465, K,= Gi — 0,00011131, K,— ce — 0,00000630, = tn —
En portant ces valeurs de
dans l’expression cherchée de F(x), on a F(x) = 0,0003465-+-0,00011131(2—12,25)+0,00000630(4—12,25) — 0,0000000476(x—12,25),
ce qui présente toutes les valeurs données de F(x) avec une approximation très suffisante, comme on peut le voir d’après cette table:
Fe Valeurs de F (&m) Valeurs de F(&m) PRES observées. calculées.
: 0 0,000000 + 0,000016 — 0,000016 9 0,9 | —0,000022 | —0,000036 | <-0,000014 3 “F6 — 0,000098 — 0,000067 — 0,000051 + 2,1 — 0,000077 — 0,000085 + 0,000008 D 5,2 — 0,000115 — 0,000107 — 0,000008 6 5,6 | —0,000135 | -— 0,000101 | —0,000034 7 6,1 — 0,000094 — 0,000089 — 0,000005 8 6,3 | —-0,000101 | — 0000083 | —0,000018 9 7,2 | —0,000047 | —0,000049 | + 0,000002 10 8,5 | —0,000006 | —0,000020 | - 0,000014 11 8,6 0,000007 — 0,000007 + 0,000014 12 9,1 0,000081 0,000061 | +- 0,000020 135 11,2 0,000215 0,000236 — 0,000021 14 11,9 0,000317 0,000308 + 0,000009 15 12,7 0,000352 0,000398 — 0,000046 16 13,5 0,000480 0,000495 — 0,000015 IF PTS 0,000568 0,000534 | + 0,000034 18 | 15,0 0,000706 0,000698 | + 0,000008 19 15,6 0,000841 0,000789 | -- 0,000052 20 | 16,3 0,000927 0,000891 | + 0,000036 21 17,4 0,001057 0,001080 — 0,000023 22 18,6 0,001256 0,001295 — 0,000039 93 18,6 0,001298 0,001295 | + 0,000003 24 19,2 0,001419 0,001408 +- 0,000011 25 | 19,8 0,001496 0,001525 | ——0,000029 26 | 21,2 0,001805 0,001813 | — 0,000008 #7 T°018 0,001989 0,001942 | + 0,000047 28 | 22,2 0,002043 0,002030 | - 0,000013 29. 24,0 0,002421 0,002447 — 0,000026 30 24,5 0,002618 0,002568 |, + 0,000050
$ 30. D’après la formule (14), et en prenant, suivant l'expression obtenue de F'(x),
on trouve que les erreurs qu’on commet dans nos valeurs des coeffi-
cients K,, K;, k,, se
en remplaçant, comme nous l’avons fait, la courbe y — F(x) par un polygone, sont comprises respectivement entre les limites
—0,0000023 et —0,0000040, + 0,00000059 et + 0,00000079, — 0,000000022 et — 0,000000032, __0,00000000059 et —0,00000000081.
D'après cela on reconnaît aisément que ces erreurs sont notablement au-dessous de celles dues aux observations. Ces erreurs seraient encore plus petites, si les valeurs de l’argument des observations des n° 4 et 5 n’étaient pas si éloignées entre elles.
$ 31. Par la méthode exposée dans les sections précédentes, on parviendra à trouver les coefficients de la fonction
avec une approximation plus ou moins grande, suivant le nombre de ses valeurs connues. Mais comme les quantités
83 Ms M5 0
qui entrent dans nos formules dépendent essentiellement du nombre », on ne peut les employer à la recherche de l’expression de F(x) sans fixer d'avance le nombre de ses termes conservés, et conséquemment, tant qu’on ne sait rien sur ce nombre, il est important d’examiner les différentes hypothèses qui s’y rapportent, et de chercher séparément, dans chacune d’elles, l’expression de F(x), ce qui augmente considérablement les calculs. Nous allons montrer maintenant comment par notre méthode on parvient à
une formule d’interpolation, qui lève complétement cette difficulté. La formule que nous donnerons à présent embrassera toutes les hypothèses possibles sur le nombre de termes dans l’expression de F'(x), et répondra à chacune d’elles suivant qu’on prolonge plus ou moins la série que cette formule représente. Sous ce rapport elle ne laissera rien à désirer, seulement, comme toutes les autres formules de ce Mémoire, elle ne donnera pas de résultat avec la moindre erreur à craindre, résultat qu’on ne saurait trouver directement qu’à l’aide de notre série citée plus haut.
$ 32. Pour parvenir à la formule d’interpolation dont nous avons parlé, convenons de désigner par le symbole
Ju
l’expression de la forme
M" M2 ns h [rar u di + | u dx — (on fra —h Ni 2 Nn où LE UT ae | Ms Mr...
sont les racines des équations : n+-1 n+1 (æ+ Va?) ? +(x— Var —h?) ? 5 2 perd n+1 n+-1 (x + Va? hi) ? —(x— Var?) ?
= xs 0 2 Va? — h?
dans le cas de »n impair, et des équations
Co md on Le nee 2
A 1 2 V2 (Ve Ve ee 7x +h —= 0 FT
dans le cas de n pair.
D’après cette notation, les formules, trouvées dans la Section III pour la détermination du dernier coefficient de la fonction
seront représentées ainsi:
] Fa) = 6 À.
D'où, en substituant la valeur de F(x), nous tirons [A +4,%+....+4,2)= 4,2 +4 fx+....+ 4 fx" =5sA,, n n n n ce qui suppose Soit maintenant
fa)=a+ar+aûi+....+a,x
une fonction dont on cherche la valeur pour
HR D'après la valeur de : m fa) =a+a1+a+-....+a,x on à JFG) = [ (0 + à € + ad? +. + 4,2%") —4@ [2 +afx+a,fa+....+a, fa"; n n n n
et comme nous venons de voir que a —=0, fx—0, fax—0,....(a1—0 [a =0, [2=0, f#=0,....[a" 0,
cela nous donne, dans la supposition de n m1,
Jf@=afe" a, fe +. F Han f2".
D'où, en faisant :
nous obtenons ce système d'équations:
JF@)= a fa + a, [x + a, [at +. +4," JFG) = a fe a far... a, [a
(20) [f@)= af +....+a, fx", [fa = a, [2"
Ces équations déterminent tous les coefficients
CAO CAT AMEN 7
de la fonction fa) =a+a2+a+....+a, x d’après lesquels on trouvera aisément sa valeur pour 4 — 2.
$ 33. Pour parvenir directement à la valeur de f(z), nous prendrons la somme des équations (20), après les avoir multipliées respectivement par les facteurs arbitraires
Ainsi l’on obtient
Gj f(x)+-0, J f(x)+0, J f(æ)+. + 0mff (x)=a0, f a°+-a,(0, f 2+0, f æ)
+ Gn(0, 00 [++ 0 fan)
D'où résulte cette valeur de f(2 = a, + a, 2+a,#+....+a, 2":
O1) A ff@)+0,[f() + 0, F0)... 0, [F0 =f te,
les facteurs | DD 0 6x6 étant choisis de manière à ce qu’on ait
0,[2"+0,[2"+....+0,,, fa".
Or, d’après la forme de ces équations on voit que les facteurs
O; Os O0
ge...
qui entrent dans l'expression (21) de f (+) sont les fonctions de z, respectivement des degrés du dv:
et que leurs valeurs ne dépendent nullement de »#, nombre de termes de la fonction cherchée. Done si l’on fait » — ©, l’expression de f (2), donnée
par la formule (21), jouira de la propriété dont nous avons parlé dans le $ 31. Pour s’en assurer on n’a qu'à remarquer que, dans le cas de m — oo, la formule (21) se réduit à une série infinie
0, JFG) + 0, [F0 + 0 [F0 +...
et que cette série, arrêtée au terme 4,,,,/f(x), donne la valeur de (2)
qu’on trouve d’après (21) dans la supposition de
fa) —=a+ar+ai+....+a,x.
$ 34. Nous allons chercher maintenant la loi de la série Fe) = 0 [fe + 0, [Fe + 0, [+
qui résulte de la formule (21) dans le cas de m = 00.
Les équations (22), qui déterminent les fonctions
ns. Css
pour »m— co, deviennent
Af= k,
(24) 0, fe + [a+ Os [ mp,
Of +0,12 + 03fa + 0,[a8 = 2, 0 1 2 3
