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fi A à re Œ a à F
$ 35. Les deux membres de cette équation se transforment dans des sommes très simples. En effet, comme
6 20, . ds des EX D 1) au pe] U — — We Mrs pe M u—= M hp. = - UÀ — — —u on trouve == L'SANR SP IE eE EE (—1)—1 36) 1 SRE Lori RAR : Qu—ih * VAS Liu:
D'autre part, à l’aide de la décomposition en fractions simples, on obtient
* PEER RSS RE ED RCE , (u u ) DEV R à (24222) 7 24V ae (2—v 22h) 2—V 22h? - 284; F 2V 2h? | Gu-e-v2- Re) hu-z-Ver ht (hu-2+Ve2h) hu-2+V22-h? et par là rs ENT ON. h(2+ V2? R)u h (2 — V2? —h?) u |
(etui) VAR (hu—2—Va—) TU (u—s+ Ve h}/’
d’où résulte
1 Aie )E+Y 22h) (e+Ve—h) u? ( u——) PE 3 PRE ss nes À w 2 EE ce ” (ne : ti) rer Ten LEE M (eva hi) (Ve h2) h D
= — Se ire 2h) —(s—Vr— BR) == h? >, =
hT uT
D’après les transformations que nous venons de faire, notre formule devient
ASS = x T= > Y EN Te 2" (a+ Var RE) — (2 Var BR) ET 4 7 2 D A=1 rpg T—
$ 36. Pour tirer de cette formule celle qui nous conduira aux valeurs cherchées des fonctions
UE, MaC NRRRE
nous l’intégrerons depuis u= 1, jusqu’à w— co, après l'avoir multipliée par
roc og" (u)%
où @ est un nombre arbitraire. Ainsi l’on obtient
\ logP—1{u) du X ( p1}f Se D F9 = a BD — L
Le")
pi
et comme les intégrales
| log P—1 (w) du | (2u—1) +1 ?
k p— 1 XP Qu — 1ÿ | lg () dæ
il en résulte, après la suppression du facteur cou |
se réduisent à
Va he) (eV) ét ) du ATV 22h ur
log P—1 (u) du
ut FI
, 4[ log (2) 4
Joe: (+) dx,
2) — (e— Ve —h)
N TT AG; TS — \ z2+ V2? — dm D + ÀP (21 — 1)P Ÿ- Ai B=1 T1
ou, ce qui revient au même,
1= = To
ANT rx0 Ve? — RP?
(73 (— 1 —1 10 D 1 Y (a V22 RE) — (a — Var — PE À fs a
ÀP Qu — 1 — À=1 B=1 T=1
De plus, en remarquant que
4hT rx Vz2 — 2
(te
ie
on trouve que cette formule peut être mise sous la forme
RE in 1 de 2-7 Gite.
= + N ” (2+V22—R2) —(3—V 22h?) ms ART x° Ve? — h?
et par là on obtient
\ (—1}—1 A J (av 222) (222272) 1 1 1 (26) À pee AhT x Vz2—h2 (re) 7)
C’est au moyen de cette formule que nous trouverons l’expression générale
des fonctions 0, qe: (; AE te E -
37. Pour trouver la valeur de ©, remarquons que la formule (26 À )
indépendamment du nombre 9, ne peut avoir lieu, à moins que ses deux “Has membres ne contiennent les termes avec ; égaux entre eux. Or, dans le
premier membre on trouve que ce terme est
en passant à la recherche des termes correspondants dans le second membre, nous trouvons que le produit
se réduit à 1 1 1 1 j»
en désignant par
des nombres impairs Led rt, EF ID 17; 19.5 :, sans facteur carré, et en supposant qu’on prenne le terme
LS
ap avec le signe + ou — suivant que les diviseurs premiers de d, sont en nombre pair ou impair. Le second membre de notre formule se réduit par conséquent à
à Æ ARTE RE) —(e— Ve) 1 cms ANT Vz2 — M? (rdh)}??
: 1 et par là on trouve que les termes avec ;; sont
À (eV) (Va 2e) 1 tr: (2-22) —— (eV 22h?) dE 4h] v 22=hè NT 4; Fi 1° 4hd1 Vr2—R2 À MU À (2422 h2)da (2-72 =h2)da Es —— d. + 2 — 4h 2 Vz2—h?
en désignant par ” Rue RE
ceux des diviseurs impairs du nombre À qui n’ont aucun facteur carré. Quant aux signes de ces termes, conformément à ce que nous avons vu, On prendra en général
À LE (24-222) p — (eV 22 h2)dp À Lo AhdpV 22h?
Le a
avec le signe + ou —, suivant que les diviseurs premiers de d, sont en nombre pair ou impair.
En égalant entre eux les termes avec ;; que nous venons de trouver
dans les deux membres de la formule (26), nous obtenons cette équation:
À En A 6) CAVE) —(2—V 2 PSS À Cv — (eV 72) 1 Ah V2 AP di À L and 122 TE | À À ii À (24-V22—h2)d9 —(2—V22—h2)da 1.
—— de à 1P ——— (4 + € ‘ ?
AhdaV 222
ce qui donne pour la valeur cherchée de la fonction 6,
is À À RES pe mad PR) (eV) (AP (ee) — (eV) ÿ Ah Va? a ET. M ce and VE TÈ
À À a De (e4+-V 22 h2)d9 (3722 h?)do LE 2 À . 0... ME.
AhdoV 72 TÈ
$ 38. Par l'expression trouvée de 4, on obtient aisément toutes les
fonctions O; Os Ogs Os.
suivant lesquelles est ordonnée notre formule (23). Ainsi, en remarquant
que dans les cas de FÉTS 20e AU
le nombre À n’a point de diviseur qui soit impair et en même temps sans facteur carré, nous trouvons pour 4, 4,, 0, ces valeurs:
0 eV hs Va RE 1
nee 4h V2? — 2 T2?
