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En changeant m, p,, Pa, P3,.. Pa S'en m—n", 1—p,, 1 —9»,, 1—P3,...1—2,; pu — S, il suit de ce théorème que, si la somme 1—», lp rep bp, est égale à m—S, la valeur de
l'expression sé — OR
pour u—n>œp—$S +1 surpasse celle de la probabilité que l'événement contraire à Æ arrivera au moins m—» fois dans p épreuves, où p,, p,, Ps» - - + D, Sont les chances de Æ.
En observant que les conditions
se réduisent à Di rPtbt HD =S, n<S—1,
et que l’événement contraire à Æ n'arrive pas moins de p— » fois dans y épreuves, si Æ ne se présente dans ces épreuves plus de n fois, nous arrivons au théorème suivant:
Théorème. «Si les chances de l’événement Æ dans x épreuves consé- «cutives SOnt Pi, Pas Pys -.+ Puy, €t que leur somme est S,, la valeur de l’ex-
«pression 1 At p—n { S\nr1 2(8—n) um [rs =) n
«pour » plus petit que S—1, surpassera toujours celle de la FRObItté que «ÆE n’arrivera dans ces épreuves plus de n fois».
$ 6. Mais la répétition de l’événement Æ ne peut donner lieu qu’à l’un de ces trois cas: ou l’événement reviendra au moins #» fois, ou il ne reviendra pas plus de » fois, on enfin il reviendra plus que n et moins que "” fois.
Donc la probabilité du dernier cas sera déterminée par la différence entre l’unité et la somme des probabilités de deux premiers cas.
Donc, comme conséquence des deux derniers théorèmes, résulte le suivant :
Théorème. «Si les chances de l'événement Æ dans x épreuves consé- «cutives sont p,, D, Ps, ... P,» et que leur somme est S, la probabilité que «le nombre des répétitions de l'événement Æ dans ces x épreuves sera moindre «que # et plus grand que x, surpassera, pour m plus grand que S +1 et «pour » plus petit que S— 1, la valeur de l’expression
en EN
de
Pour déduire de ce théorème la proposition enoncée au commencement de la note, nous remarquons que le rapport du nombre des répétitions de l'événement Æ dans x épreuves au nombre y n’atteint pas les limites
S S — +2 ——2, mn im
si Æ dans ces épreuves arrive moins que S + p2 et plus que S — m2 fois. Mais la probabilité que ceci a lieu, surpassera (d’après le dernier
SES 1 | ; théorème) pour 2 > ré la valeur de l’expression
1 1 (S + az) (lu — S— pe) S u—S \p—S—ps+1 nr” Pnau) 22 be S+ qu Des
ÉEA RE EEE ( u—S \r-St+u/ S pie 2 H u— S+ puz S— pe
qui peut être mise sous la forme
1—9p p+2 p 1--p+7 [TA 3 1 — F = H (3) 22 Vu 1—p—2 22V p —2 nm?
où l’on à fait pour abréger = pet
wo GET er RE en
Les équations (4) nous donneront pour les logarithmes naturels de H, H, les séries suivantes:
rs ES
2 23 #2 ETS 24 AUS VOS 5 AB Re RETARDS) (+ Ù TT (L 5 ed d’où il est clair que Æ, A, ont des valeurs moindres que 1. Il suit de là que l’expression (3) s'approche indéfiniment vers 1 par
l’accroissement de w, de manière qu’on rendra sa différence de 1 bien plus petite que Q, en prenant pour w un nombre quelconque plus grand que
FRE es x lg | 0.2 ee .
log H log H,
Nous sommes donc parvenus à la demonstration rigoureuse de la proposition qui est l’objet de cette note.
