INFÉRIEURS À UNE LIMITE DONNÉE

(Mémoires présentés à l’Académie Impériale des sciences de St-Pétersbourg par divers savants, VI, 1851, p. 141—157. Journal de mathématiques pures et appliquées. I série, XVII, 1852, p. 341—865.)

O6 onpeors 1eniu TUCAG NpOoCmuré TUCeA He npebocæoOmuue Oannoti Lbenurun.

(Teopia cpasneniä. C.-ILerep6ypre, 1849, crp. 209—229.)

Sur la fonction qui détermine la totalité des nombres premiers inférieurs à une limite donnée.

$ 1. Legendre, dans sa Théorie des nombres *), propose une formule pour déterminer combien il y à de nombres premiers depuis 1 jusqu’à une limite donnée. Il commence par comparer sa formule avec l’énumération immédiate des nombres premiers faite dans les tables les plus étendues, nommément depuis 10000 jusqu’à 1000000, et l’applique ensuite à la solution de plusieurs questions. Malgré la concordance prononcée de la formule de Legendre avec les tables des nombres premiers, nous nous permettons néanmoins d'élever quelques doutes sur son exactitude, et par conséquent aussi sur les résultats qu'on en à tirés. Nous fondons notre assertion sur un théorème, relatif aux propriétés de la fonction qui détermine combien il y a de nombres premiers inférieurs à une limite donnée, théorème dont on peut déduire plusieurs conséquences curieuses. Nous allons d’abord donner la démonstration du théorème en question, et nous en présenterons ensuite quelques applications.

Ier Théorème.

$ 2. Si l’on représente par 9 (x) la totalité des nombres premiers inférieurs à x, par n un entier quelconque, enfin par o une quantité >> 0, la somme

DRE CEE

Jouira de la propriété de s'approcher d’une limite finie, à mesure que o converge vers zéro.

*) Tome 2, page 65 (Troisième édition).

Démonstration. Commençons par démontrer que la propriété en question à lieu pour les fonctions que l’on obtient par la différentiation successive des trois expressions

ds log p — 2 log (1 —)

Z log O—)+ D

par rapport à po; ici, comme par la suite, la sommation par rapport à » s'étend à tous les entiers depuis »m — 2 jusqu’à m — co, et par rapport à & seulement aux nombres premiers, également depuis u—=2 jusqu'à p = co.

Considérons la première expression. Il est facile de voir que l’on a

et par conséquent

(r+] | (2) ae exz—] æ A mi? pp — l ë

En vertu de cette équation la dérivée d’un ordre quelconque » de

1 1 £ : k GI e ET Lo à rapport à p sera égale à une fraction, dont le dénomina-

= . n+1 : en teur est LL ea dx | et le numerateur une fonction entière des expres-

sions

(= —;2) ec" x da, | (= —:) e* x° log x dx,

re 00 ju 1 1 —% p 2 1 1 —+ p n (—-5)e x° log sas. | (24 e* x log xdx,

e* a° dx, | e"* af log x dx, ] e"* af log? ædx,... | e* af log” x dx.

Or, une telle fraction, pour n — 0 aussi bien que pour n > 0, s’ap-

Le it

roche d’une limite finie à mesure que o converge vers zéro: car la limite P ;

de l'intégrale re af dx pour p — 0 est 1, et les intégrales

| (= —°) e* a log? x dx... Ï 0 0

C0 00 | e® af log x dx, | ex" log xdx,. | e* af log” x dx 0 0 0 pour o — 0 conservent évidemment des valeurs finies. nd 1 1 re Ainsi, il est certain que la fonction. px mi > aussi bien que ses

dérivées successives, resteront finies à mesure que p convergera vers la limite zéro.

Considérons actuellement la fonction

log e— Zlog (1 — 5)

On sait que re) (mx) (ss) =l+n tas tast+ FM à :

d’où l’on tire

— log (1 — 5) — 108 (15) —108 O3). lg

lb (Tes —e 2 Step 4e ©)

équation qui, d’après la notation admise plus haut, peut être écrite de cette

| manière

| — > log (1—7)= 108 (+) donc

| log p— ZX log (—)=108 (+de:

| ou bien

| log e — 2 log (= [1+e+ (Da —5)e).

CCE de

Cette équation fait voir que toutes les dérivées de

log pe — Z log (1 —— rs)

suivant @, s’exprimeront au moyen d’un nombre fini de fractions, dont les dénominateurs seront des puissances entières et positives de

ee (Dse)e

et de ses dérivées par rapport à 0. Or, de telles fractions s’approcheront

d’une limite finie à mesure que p convergera vers zéro; car l’expression 1 1 1+p+( ù —— — o, qui entre dans les dénominateurs de ces fractions, mi? 0

tendra vers la limite 1 à mesure que 9 s’approchera de zéro, et cela parce-

FES Le 1 que la différence > EC nous l’avons démontré plus haut. Quant à ce qui concerne les numérateurs,

id me

, dans cette hypothèse, reste finie comme

UE 4 1 L comme ils ne contiennent la différence > F et ses dérivées que sous

forme entière, et que ces fonctions tendent vers une limite finie quand 9 converge vers zéro, il en sera de même pour ses numérateurs. Il nous reste encore à démontrer que la même propriété à lieu relativement aux dérivées de la fonction 1 Er