IF

où F(x, x,) est une fonction entière qu’on trouve en quotient dans la division de , (x) par x —x,. Or si l’on décompose la somme

DIF(, g,) + C2 si

en deux parties Drur), D,

et que l’on développe, dans la somme

la fraction T—%X;

en série

1 L£ œE MONTS 1 Ts Tec HA HA x

cette formule nous donnera

Z j) , Zæbi(x) , Zæf b\(x) BR, = D F(,%)— px) + he), ZmhG, 3e Fe RD

ce qui suppose, d’après (5), l’identité de ces deux suites:

DF(,2)— 9) + 20 + En EPA

æ ax? x

(À, à) A,1+1) . (,1+2) a\ +1 ae a\+2 Ha a\+3 si

Mais comme ZF(x,x;), p,(x)

sont des fonctions entières, cela ne peut avoir lieu à moins que les termes avec les dénominateurs

2 À ,À+H1 4-2 d, ©, &,....%, nr tes : 31*

dans ces deux suites, ne soient respectivement égaux. Donc

ce qui prouve les équations (5) et (6).

D’après cela il est aisé de déterminer les coefficients

as Moon de la série

Pour cela multiplions la série par x, où p est un nombre quelconque, et sommons ses termes pour toutes les valeurs de

DM, Ms bre is

Nous obtiendrons ainsi

Eau, = K,22 0, (x) + K, 22/0, (x) + K,Za, (x) +...

où par %, nous désignons la valeur de « qui correspond à x = x,, et comme, en vertu de (5) et (6), on aura

Zz/V, (x) — (0, p), Zæx, (x) = (1,p),.... Zai, (t,) = (u, L), Zrf4,,,(@&)=0, Zzd, (x) =0, Sales ON,

il en résulte Zafu, =(0,p) K,+ (lu) K+....+(u— 1, u) K,,+(4, UK,

D'où, pour la détermination du coefficient K,,, en fonction des coefficients

: PAS. RR K,,, on tire cette formule très simple: K — 2 aibug — (0, v) Ko — (1, p) Ki —....— (pu — 1, 4) Ep L be (u, b) ;

En adoptant ici pour l'indice w les valeurs 0, 1, 2, 3,...., on obtient, pour la détermination successive des coefficients

PENSE ET ET Ne

cette suite d'équations:

Zu; Ko = Go;

Zzxçu; — (0,1) XK, K = Te ) È

Ke — Evitui — (0,2) Ko — (1, 2) Ki 27. (2, 2) .

K RE Zx;u; EUÉ (0, 8) Ko — (1,3) Æ, — (2, 3) K; 7 (3, 3) <

Il nous reste à montrer comment on parviendra d’une manière facile à trouver la somme des carrés des différences entre les valeurs données de x

correspondantes à

Me dus Mr lois rdis

et celles qui, pour les mêmes valeurs de x, résultent de notre série arrêtée au terme Æ, 4, (x), À étant un nombre quelconque.

Pour y parvenir, nous allons montrer qu’on aura

(7) | 29,@&)9,@)—0, tant que v < pu, et (8) 2 4, (&,) 4, (x) = (4, be),

dans le cas de nu — v.

En effet, d’après (1), la fonction 4 (x) sera de la forme

d'+AT ‘+A,x *+....,

et par conséquent on aura (9) 24, (x) 4, (x,)= 22; 4, (x) +4, 22, 7" 4, (x) +4 2 *4,(r)+.…. Mais en vertu de (5), dans le cas de v x, toutes les sommes

Zap, (æ,), Zai—" p(x), 224, (x)...

se réduisent à zéro, et par là, d’après la formule précédente, on trouvera 2 4, (&,) d,(&,) = 0,

ce qui prouve l’équation (7). De même, dans le cas de

Fer on trouve, d’après (5) et (6), que la somme Zx;,' d., (&;) est égale à (4, :), et que les sommes 2x, "4, (x), Z2a,7 "4, (x)....

s’annulent. En vertu de quoi, pour w = v, la formule (9) nous donne l’équation (8) È A (2) Ÿ, (x) — (4, p).

Au moyen des équations (7) et (8), que nous venons de prouver, il est aisé de montrer qu’on aura toujours

(10) Zu; 4, (r) = (4, b) K,.

Pour s’en assurer, observons que notre série u= Kb (a) +K 4, (x) +K,d(2) +....,

prolongée jusqu’au dernier terme, représente exactement toutes les valeurs données de

M, WU, Wir.

et par là on aura

Zu, 4, (e) = Ro 2Vo(r) Ÿ () + Ki 2j (e) 5) + Ka 2h (œ,) bn) +. Mais d’après (7) les sommes

2) be), Eh) (20, (cb, @), 2U, Gb). … s'annulent, et d’après (8) on trouve

24, (a) 4, (æ) = (ab).

Donc le développement précédent de Zu,d(x,) se réduira à un terme

(ue, 1) K,,

ce qui nous donne l’équation (10).

En vertu des équations démontrées, il est aisé de trouver la somme > [w, gi K, Yo (x) tres K, (A (x) PTS HART K, ÿ (&,)P, où u

pour 2 = 1, 2, 3,....n, désigne les valeurs données de w

UW) Vs, Ugy. .. Un)

et l'expression

Ko (t;) + K, 4, (x) + Kb) +... + XK,Ÿ, (x)

leurs valeurs approchées, obtenues par notre série, arrêtée au terme X, 4, (x). Pour cela mettons le carré

[w, — K,%,(&;) — Kb, (;) — K,%,(&) —....—K, 4, (&,)

sous la forme

uÿ — 2u; [K Lx) + K, 4, (x) + K, Lt)+....+K\4, (x)] +K, V (x;) [K, L (x;) + K, A (x) + K, LA (x) AT te SP K, UT (x,)] +K 4) [Kb (r) + K (x) +K,h(r) +... +K,4, (x) |

DOS NS ST NU D RS IT D ee DNS tu ho 1d"6 0/60 © ep» % 0.» 0 « e,6 à 0e © +

pu K,4, (x) [K (I (&;) + #, (A (x) +K, Ye LUS K, d, (&)|, ce qui nous donne

Zu, —K,h,(r) —K, h, (x) —K, 4, (x) —....—%K, 4, (x)

= Du — 2K,Zu,p{(x;)—2K,Zu,4(x,) —2K,Zu,V{x,) —.….—2K, Zu;Ÿ,(x;) +R 2x) br) KoK,29(,)4,(2,)-+-KK32%0(2;) Va)... KR, Zbo(r,)Ÿ, (œ;) +-K,K,24.(x,)b(x,)+-K 24. (x,)b.(x,)+-K,K,24,(x,)b.(x,)+....+KiK, Z4,(x,)4, (x)

ON PC OÙ 4e 2e Var © 7 JAN De DNS VON VS ONE ON GS DE ON DS AN DS EC Ve OZ PL ie DEN VEN ONE D ON ON DE UN ACER RME RAR,

Mais d’après (10) nous aurons Zu, (x) = (0,0) Ki, Zu, Ÿ, (x) = (1,1) K;, Zu, Y,(&,) = (2,2) K:,...., et d’après (8) et (9)

24, (&)(r) = (0,0), 24) hi) = (LD, 2d(&)4(%) (2,2), . ...,

24,(x)4,()=0, Zd,()h(r)—=0,.................... à 24, (&)4()=0, Zd(t)h(t)=0,.................... 1

2 Ÿ (te) Le (&) = 0, 24, (&)4(&)=0,.,,:: 2. DE

e. ee + © © © ee à Le à © + + 6 + + 2 © + © ,0 9. ©, à se of el" 976 7% +, ©: 61e" ame re ANR D, 0) 107.0 #7 1e 6e

En vertu de quoi la formule précedénte devient

[a — Ko bo(a,) — Ki D (r) — Ka am) —. —K, 4, (&)P — 28 — 2 (0,0) K°— 2(1,1)K,2— 2(2,2) KP — .... —2(,3)K? O0) A+ (LE -+- (2 D RESTE +A NE,

et se réduit à celle-ci:

= [us — Ko (&;) — K;Ÿ, (&;) — K;% (x;) Te Fe RES K, p (x) P — 242 — (0,0) K2—(1,1)K,2— (2,2) K2—....—(Q,)K;.

Telle est la formule donnant la somme des carrés des différences qui existent entre les valeurs données de « et leurs représentations par la série

u= KŸ (x) + K, 4, (x) + Ki, (&) + ...., arrêtée au terme Æ, 4, (x). En désignant, pour abréger, cette somme par

za, nous aurons

2d = Zu — (0,0) Kÿ—(1,1)K°— (2,2) K?— ....—A,AKS. D'où, pour la détermination successive des sommes

Ed, 2d?, 24...

qui correspondent respectivement aux cas où notre série est arrêtée aux termes 1, 2, 3,...., résulte cette suite d’équations:

2d$ÿ — Zu,° — (0,0) K;, 2dÿ=2dÿ —(1,1)K;, 2 d? = 2 a RER (2,2) ee

Nous allons maintenant résumer les formules définitives par lesquelles on parviendra à calculer, terme par terme, l’expression de # d’après la

série u= K,4(&) + K, 4, (x) + K, 4, (x) +....,

et on connaîtra, en même temps, la somme des carrés des erreurs commises dans la représentation des valeurs données de *, en s’arrêtant aux termes RH: Lau

Dans ces formules, suivant la notation employée, les valeurs données de la fonction w et de la variable x sont représentées par

UW;;, Vo) Ug) CCR] U,,,

A A LE ed 0

Les sommations s'étendent à toutes les valeurs de l'indice 4, depuis i—= 1, jusqu’à &—n, et Xd,° désigne la somme des carrés des erreurs dans la représentation des valeurs données de « par notre série, arrêtée au terme Æ, 4, (x), somme d’après laquelle on trouvera l'erreur moyenne par

la formule E = = > d,?.

Formules relatives à la détermination du terme K,%, (x).

Su:

Ko = Go:

Zd42—>Zu2— (0,0) K&.

Re A î S mai

Formules relatives à la détermination du terme K, à, (x).

(0,1) = Zx,, (0,2) = Zx, a, = (0,0) b, =, (1,1)= (0,2) —b, (0,1), FE Ein ue Ko h@=r—b,

Ed?=>d— (1,1) K?.

Formules relatives à la détermination du terme K, 4, (x).

(0,3) = Zr;’, (0,4) = Zx;, (1,2) = (0,3) —6, (0,2), (1,3)— (0,4) —b, (0,3), = Go o, =} —00, (2,2) = (1,3) —b, (1,2) — a, (0,2), K, = Eté — 2 Le =GIE

Va (@) = (& — d,) , (2) — a Yo (2), Zd?=2>d"— (2,2) K?.

Formules relatives à la détermination du terme K, 4, (x).

Net ei 20 2 0: A3, à), A—1,1+1)=(—2,À-+2) —0, ,(—2,+1)—a ,(—3,À+1),

CSS 0 et

cé Cage | PE 3 pue

hs REC 9 | = À = (A1, 1) 1,28 2, À), Re Ze) us — (0,À) Ko — (1,À) Ki —(2,)) Ko —....— (À — 1,1) K): À A, À) ?

Ÿ, (x) = (& —b,) di (x) — a, 4, ,(), Zd,— 24, ,—(,) Kÿ.

$ VII

Les formules que nous venons de donner pour déterminer successivement les termes

KG), AdQ), Rd)... K,4 (2)

dans le développement de « d’après notre série, et pour évaluer, en même temps, la somme des carrés des erreurs avec lesquelles les termes trouvés de « représentent toutes ses valeurs données, nous fournissent une méthode d’interpolation parabolique, importante sous plus d’un rapport. En vertu de la propriété remarquable de notre série, cette méthode donne l’expression de « sous forme d’un polynome avec les coefficients les plus probables. Sans fixer d’avance le nombre de ses termes, par cette méthode, on les trouvera successivement l’un après l’autre, et on reconnaîtra tout de suite celui auquel on peut s'arrêter d’après la somme des carrés des erreurs avec lesquelles les termes trouvés de « représentent ses valeurs données, somme qui donne sur le champ l'erreur moyenne de leur représentation. De plus, il est aisé de voir par la composition de nos formules que lorsque le nombre des valeurs données de # et celui des termes de son expression sont considérables, dans notre méthode d’interpolation les calculs sont moins prolixes que dans celles maintenant en usage.

Cette prolixité des calculs est due presque entièrement aux différentes multiplications et divisions dont le nombre s’accroît plus ou moins rapidement, avec ceux des valeurs données de x et des termes dans son expression. C’est sous ce rapport que nous allons montrer l’avantage de notre méthode d’interpolation, en laissant de côté les additions et les soustractions qui, dans le travail de ces calculs, n’entrent que pour bien peu de chose, et pour lesquelles on peut aussi bien manifester l’avantage de notre méthode.

Pour trouver par nos formules l'expression de # avec À + 1 termes, on devra évaluer 3 + 1 sommes

2 3 2) 2% OU, elite 2 A Zu,, Zaæ,u,, Zafu,,.... Zx,u,, et au moyen de ces sommes, en cherchant les termes

Kb), K%(), Kid(2),.... K, 4, (&),

par ce que nous avons vu, et en les réduisant à la forme définitive A+ Bi + Ci +....,

on n'aura à faire des multiplications ou divisions qu’en nombre 42? + 2. Mais si l’on cherche cette expression de #, à l’ordinaire, par la méthode des moindres carrés, on est porté à calculer les mêmes sommes

2 8 2) 2%, 2%, ZM. 28%

pour la composition des équations déterminant À + 1 coefficients de «, et en résolvant ces équations à À + 1 inconnues, on tombe sur les multiplications et les divisions dont le nombre, avec l'accroissement de À, croît, comme on le sait, bien plus rapidement que 42°? +- 2.

D'après la méthode de Cauchy, en chérchant, dans le développement

de «, les termes A+ Br + O+....+ Hx,

on doit, pour z—%,, %,, %3,....4,, évaluer plusieurs fonctions, dont les degrés montent jusqu’à À, et composer par leur moyen les sommes qu’on nomme subordonnées. Or cela exige, évidemment, bien plus de multiplications qu’il n’en faut pour calculer les sommes

2%, 200: 2 pe os 20, 54

Zu,, Za,u,, Zafu,,.... 24, u,,

qui se présentent dans l’évaluation de À + 1 termes de notre série, et aussi

pour trouver celle-ci: | Zu,

qui entre dans la détermination des sommes LU, 24, 20 ir

par lesquelles, dans notre méthode, on reconnaîtra le nombre des termes importants pour l’interpolation.

D'autre part, pour trouver les fonctions, comprises dans les sommes subordonnées, et pour évaluer par elles les coefficients À, B, C;,....H de

l'expression de u— A+ Br+CË+....+Hr,

dans la méthode de Cauchy, il est important de faire plusieurs multiplications et divisions dont le nombre total, avec l’accroissement de À, croît plus rapidement que 44? + À + 3, nombre des mêmes opérations a se présentent quand, par notre méthode, d’après les valeurs de

2x,138% Dati... 22% Zu, ans. 22} M. à Zzx}u,, Zu’,

on cherche À + 1 termes et on détermine successivement les sommes S 2 J 2 2 2 PERS. a... Zd;°.

Par là il est certain que, à cause du nombre de ses opérations, la méthode de Cauchy est loin d’être aussi simple que celle qui résulte de notre série. Mais comme plusieurs de ces opérations, dans la méthode de Cauchy, se simplifient de plus en plus à mesure que la convergence de la série

u— A+ Br+CË+....+H,

s'accroît, il n’y a aucun doute qu’on ne rencontre des cas particuliers où elle devient plus expéditive que la nôtre.