HO

en vertu de quoi la formule précédente devient

+ k +x F(x)= y | .. dx .4, (x) — e—kæ? J/ (x) dx .,, (x) (2) k + 11 + ie ré RE" (x)dæ (x) — "f eh F°(x) da .d(æ)

où

dx), L(2), Lx), (x)...

Ne ae

sont des fonctions entières de x qui, d’après (1), ont les valeurs suivantes: — ke? p—kx2 — box) = kr eh = 1,

— 2 kx,

—kx?

de (A (x) = Co dx

ge 9: 01:06 re. Bree Les le 6) 067 0:76 06° 6 797 5 je ‘© où: 06.2

Cela nous donne en définitive cette série remarquable:

de + F(x)— vil eh F(x) de + VE . eh E"(x)dæ. + Fo En ue +- vEl e—kx? 7°” (x) 3. V Je me x) dx .——— À 4 + etc. +.

qui, sous forme de polynome, fournit les expressions approximatives de F(x) avec la moindre erreur à craindre pour toutes les valeurs de x, entre

æ— — 00 et %— +00, tant que leurs probabilités s'expriment par la formule LT 9j l’on fait k — co, cette série se réduit à celle de

Maclaurin qui donne l'expression de Æ{(x) avec la moindre erreur, tant

qu'il ne s’agit que des valeurs de x dans le voisinage de z — 0. Or c’est

A Fe : k —Kkx?

ce qu’on pouvait prévoir, vu que la fonction V , que nous avons

prise pour exprimer les probabilités des différentes valeurs de #, dans le cas de 4 — co, cesse de s’évanouir seulement pour x égal à zéro.

D’après le développement de Z°(x) que nous venons d’obtenir, on trouve plusieurs identités intéressantes. Ainsi, en cherchant, d’après (2), la valeur de l’intégrale

| e—kx? F2 (x) dax,

on nee à cette formule:

= fe 3 (x) dx — fe e—ka® J(x) ue) se (| e— ka Jr (x) )

HN . 2 + 2 ES LE (fe Sté F" (x) a) AS LE PE {l e—ke 7°” (x) u)

D'autre part, en ayant égard aux valeurs (1) des fonctions Mt), Li), Lx). ..., on trouve qu’elles sont liées entre elles par l’équation D, (&) = —2kx4, (æ)—2(— 1) (x).

De là l’on tire aisément les valeurs de ces fonctions, et l’on trouve sur le champ ce développement de l’intégrale

eu?

ge du en fraction continue:

+ © — ku eu d = PE 2k 4k LAS Peu * ar 6k —® ñ 2 kx — V?r V2k.x — SE. 2k.x — —— 2k.x — — V2k x —

$ 3. En passant à l’autre cas, nous supposerons que les valeurs de x sont comprises entre 0 et + oo, et que ke"? désigne la loi de leur probabilité. En cherchant, dans cette supposition, et sous forme d’un polynome, l'expression de F(x) avec la moindre erreur à craindre, on aura, conformément à ce que nous avons montré dans le Mémoire cité,

NN (ee)

Î ke—k® (x) F (x) dx ke—kR 4, (x) F(x) dx F(x) = Lo (t) + = ÿ (x) +...., ke—hX pe? (x) dx [ ke—K% ÿ2 (x) dx 0 0

où

(5), (Eh: 520

sont les dénominateurs des réduites de la fraction continue qui résulte du développement de la formule —k | M qu:

T—Uu

Dans ce nouveau cas on trouve aussi les expressions très simples des fonctions (x), b,(x),...., que voici:

ko —k kæx dxekr kr dlxle—kz (8) ha=e Pa, Ve —,

D'où il suit en général:

| ke TK, (æ) F(a) dx = | RE p(x) dx

—(—1) s] ae F0 (x)dx,

| ke Y7 (e) da = l RÉ (a) de

—(—1)# | ge "40 (x) dx