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p, 9, r n'étant par inférieurs à zéro. Mais chaque terme de cette nature, pour des valeurs de p non-inférieures à zéro, a une valeur finie; en effet,
pour p— 0 et p > 0, la fonction sous le signe 2 sera une quantité d’un
PE st ordre supérieur au premier par rapport à rs
un NU
Après nous être convaincu que les dérivées des trois expressions
ds log p— > log (1 — in)
Slg (1) + dr
EE ip ?
pour des valeurs de © convergentes vers zéro, tendent vers des limites finies, nous concluons que la même propriété aura également lieu par rapport à l'expression
a 5 10g(1— Me oelz 5 || evil S !
log Re a ur DE P: 77 # pl mit? p})?
de" dep" dpn—1
laquelle, après les différentiations effectuées, ce réduira à
D % log" p le A logn—1 m TT \— ut sm MFP
Ce qui vient d’être dit renferme le théorême énoncé plus haut, car il est facile de remarquer que, d’après notre notation, la différence
'logu N logn—1 m dm LP dm Mi+P
est identique avec l’expression
« 1 log" D'homrn)—om—n | es
ou bien, ce qui revient au même, avec
T—= co FE c) | log" x NN! logr-1x æ=2 x=32
Pour le faire voir il n’y a | os observer que le premier terme de cette différence est simplement égal DE 4 parceque le facteur (71) — (x) de Se ar se réduit, par la définition même de la fonction +, à 1 ou à ©
suivant que æ est un nombre premier ou un nombre composé. Quant au
2=0 log#—1x . kv: Le Ro second terme DE FÉR: il se transforme évidemment en . Do pat 2=3
le changement de x en ". De cette manière la proposition que nous avions en vue de démontrer, se trouve complètement établie.
cs QU ue
$ 3. Le théorème dont on vient de donner la démonstration conduit à
plusieurs propriétés curieuses de la fonction qui détermine combien il y a de nombres premiers inférieurs à une limite donnée. Et d’abord observons que
la différence x+1 à Li dx log x?
log x
pour + très grand, est une quantité infiniment petite du premier ordre par
dr ; :
rapport à —-; par conséquent l’expression
æ+1 1 dx log" + \ log æ log æ arte ?
our x très grand, sera de l’ordre 2 + 0 relativement à —: d’après cela, la ) ? x? ;
somme rie x —= co x+-1 + Le dx log" x ém \logzx log æ axl+p 2—=3 x
pour des valeurs de o non-inférieures à zéro, restera finie. Ajoutant cette
somme à l’expression l log" x æl+p ?
s [pa+)—çhx=3
pour laquelle le théorème I-er a lieu, nous concluons que la valeur de x= 00 æ+-1
& dx | log" À Leur nef à is à
V2 zx
restera finie à mesure que P convergera vers la limite zéro. De là on tire
le théorème suivant:
Il-éme Théorème.
La fonction & (x), qui désigne combien il y a de nombres premiers inférieurs à x, satisfera, entre les limites x — 2 et x — co, une infinité de fois aux deux inégalités
FA dx CEA
Ni el œ(x) <| res D 2
zx dx P (æ) sg logæ log? x
quelque petite que soit la valeur de «, supposée positive, et quelque grand que
soû en même temps le nombre n.
RS
Démonstration. Nous nous contenterons de démontrer l’une de ces deux inégalités, parceque l’autre s’établira tout-à-fait de la même manière. Choisissons, par exemple, la suivante:
(1) po<| +
Pour prouver que cette inégalité est satisfaite une infinité de fois, admettons d’abord que le contraire ait lieu, et voyons quelles seront les conséquences de cette hypothèse. Soit «a un entier supérieur à e"et supérieur en même temps au plus grand nombre qui satisfait à l’inégalité (1). Dans cette supposition on aura pour x>a l'inégalité
ze Lee>n
et par conséquent
k d (2) p (x) -| Re Et a Len < 1:
Or, si l’on admettait les inégalités (2), il en résulterait, contrairement à ce qui a été démontré plus haut, que l’expression
æ— © %+1 7 E (x + 1) — P (x) —| 4 RTE,
xz=2 æ
au lieu de converger vers une limite finie pour des valeurs très petites de o, s’approcherait de la limite + co. En effet, nous pouvons considérer cette expression comme la limite de
æ—=s 7 tort + E (+1) — (x) -| a | res
pour $— co. Supposant donc s > a, cette quantité peut être mise sous la forme
X—8 x+1 \! d log" (3) C + #2 E (& + 1) — (x) -| a | LE T—=a+ FA
en faisant pour abréger
x—=a æ+-1 \! d log” => re 1)— 9 (x) — a | eo
EA
et observant que C désignera une quantité finie pour o — 0 et pe > 0. 3*
En QË Le
Or, l'expression (3), en vertu de la formule connue
8 8 2 u,, (0,32 Ce v,) DES u, v +1 mas Va Fr Z Le (ue, et Uy 1) 2 a+4-1 a+-1
et après avoir fait dx
0, = (x) -| log &? PR
log" x xl+p ?
se transformera dans la suivante:
log" a al+p
C— EE 1) e. a |
log" x
log" s s1+?
+ [ren =f à |
D E (x) Al
log" (xæ— 1) {@—1)4+ |?
qui, à son tour, en faisant 0 > 0 et << 1, pourra s’écrire comme il suit:
a+-1 rs+-1 N d log? d | s 2 v 2 — v À dx n : log"? (x — 0) +> E eo [ré Lien (x — 0ÿ2+e x—a+1l 2 —
Si l’on représente par F la somme des deux premiers termes de cette expression, et si l’on observe de plus que le troisième est positif en vertu de la condition (2), on sera en droit de conclure que l'expression précédente a une valeur supérieure à
T—=S z dx : 3 log" Re “ + | g mi 1 : Fu RUE 5 | . Fe, ns
Les mêmes conditions (2) font voir que dans cette expression la fonction
sous le signe Z conservera une valeur positive entre les limites. En outre, ñn
on aura entre les limites de la sommation 1°) 1 + p— Mare A ei ee = 1 ar b> 0, > al; 0 < 1; 29 p (x) . pra Med: car
nn EE:
| (æ) AS > log" æ
en vertu de la première des inégalités (2), et en
si sie cd
CR — Ntrornik 7
re D ax & œ ñn vertu de la seconde la dérivée de logn 2° égale à et à (1 — 2), est a (x — 0)
og"? (x — 6)"
