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Sur l’interpolation.

$ 1. Dans le mémoire sous le titre «Sur les fractions continues» j'ai donné une formule d’interpolation par la méthode des moindres carrés, quelles que soient les valeurs données de la fonction à interpoler. Maintenant je vais montrer les simplifications dont cette formule est susceptible dans le cas particulièrement remarquable où les valeurs connues de la fonction sont prises pour des valeurs équidistantes de la variable. Dans ce cas, la formule générale d’interpolation, correspondant à la formule de Lagrange, se réduit à une série, correspondant à la formule d’interpolation de Newton, contenant comme celle-ci dans ses termes les différences finies d’ordres successifs 1, 2, 3,....etc., ce qui offre, comme on le sait, un grand avantage dans les applications. Cette série donne l’expression des quantités à interpoler sous la forme des polynômes de différents degrés selon le nombre de termes qu’on y retient, les coefficients de ces polynômes étant les mêmes qu’on obtient par la méthode des moindres carrés en résolvant tout un systême d'équations dont la forme change quand on passe d’une supposition

particulière sur le degré de l’expression cherchée à une autre. Il est facile

de voir combien la recherche de telles expressions se simplifie par l’emploi de notre série d’où elles découlent directement et successivement de tous les degrés à partir du degré 0. Mais cette circonstance n’est pas le seul avantage qu’on puisse tirer en employant cette série pour l’interpolation; elle est encore très appropriée pour faire voir à combien de termes, ou, ce qui revient au même, à quel degré dans l’expression cherchée pouvons nous nous restreindre. Dans les procédés ordinaires de l’interpolation par la méthode des moindres carrés il nous faut refaire chaque fois le calcul de toutes les valeurs données à l’aide d’une formule particulière pour chaque supposition sur le degré de cette formule. Cela est d’autant plus pénible que

ces calculs doivent être répétés plusieurs fois jusqu’à ce qu’on parvient à

une expression représentant les données avec un degré suffisant d’approximation, car il est difficile de deviner d'avance le degré d’une telle expression.

Sous ce rapport, notre formule offre cetavantage important qu’en ajoutant successivement un terme après l’autre dans l’expression à interpoler, nous pouvons en même temps voir comment diminue successivement la somme des carrés des erreurs qu’on commet en déterminant à l’aide de cette expression toutes les valeurs données, d’où il est aisé de déduire aussi la moyenne quadratique de ces erreurs, d’après laquelle on peut juger de la suffisance du nombre de termes retenus dans l’expression cherchée.

$ 2. Soit

INR MAÉ. APS SUR

la série des valeurs données de la fonction w, qui correspondent aux valeurs suivantes de la variable x:

En appliquant dans ce cas la formule générale d’interpolation *), nous trouvons pour l’expression de *« sous la forme d’un polynôme d’un certain dégré à coefficients déterminés par la régle des moindres carrés, la série suivante :

Sy (us Ê qi Gus À qu (us (1) Ée LE) +, Do) + — hi) +...., do? () È da? () À 4,2 ()

où

désignent les dénominateurs des fractions réduites dans le développement de

la somme LR : + Ë + + :

æ æ—1 x — 2 SEE T—n+1l

en fraction continue de la forme

L,, L,, L,,.... étant des constantes. Dans le cas particulier que nous considérons, les fonctions

bb), Lx), Lx)...

*) Formule (6) du Mémoire mentionné.

REP ï

s’obtiennent facilement sans qu’il soit nécessaire de recourir au développe-

ment de la somme 1 1 1 1 MUR Le SES pen” æ æ—]1 æ—2 T—Nn+]1

en fraction continue; on découvre en même temps, comme nous allons le voir, la loi très remarquable de leur formation en vertu de laquelle la série (1) prend cette forme, commode pour les appliquations, dont on a parlé dans le paragraphe précédent.

$ 3. Pour obtenir les fonctions

Vox), (x), Pe(x),....,

sans recourir au développement de la somme

en fraction continue, remarquons que, d’après ce qui est démontré dans le Mémoire cité, ces fonctions, d’une part, sont des degrés

(+R ES Fhéor up et d'autre part, elles satisfont aux équations EhORO=0, 2UOhO=0.... 24 O0 ou ce qui revient au même,