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pour up << À.

Ces propriétés, comme il est facile de s’en convaincre, déterminent complètement les fonctions

Ÿo (x), (A (x), Ÿ, (&), Fe

en faisant abstraction des facteurs constants qui restent tout à fait arbitraires tant qu’on ne fasse aucune supposition particulière sur les constantes L,, L,, Ls,....dans la fraction continue

provenant du développement de la somme

1 1 À RS see ARS seen 2

et qui se suppriment évidemment dans la formule (1). Pour faire voir que les propriétés énoncées des fonctions 4, (x), 4, (x), Y., (x),. ..., les déterminent à des facteurs constants près, soit

une fonction entière étant comme 4, (x) de degré À et satisfaisant comme celle-ci aux équations

n n # 24 DO =0, 2h OO = 0... 24, O0 —0.

Or, d (x), A (&), d (x), PAATREe d,, (x), (US (x) représentent une série de fonctions entières respectivement des degrés

donc, la fonction entière f(x) de degré À peut être représentée par la somme

45% @) + 4,4, (2) +....+ 4, ,4,2,(@) + 4,4, (@), As ESS 4, ,, À étant des constantes.

En portant cette expression de f(x) dans les équations précédentes, on trouve

Dh (FD = 49 240 + À SV UD +. + 4 Ep O0,

SHOP — 4 Ep O DO + À SO +. + 4 EU OH O 0,

21 (0) A0 2 3 6) o(é)+..+ 4 24 (+4 2h10 h = 0, d’où l’on tire, en vertu de (2) les égalités suivantes:

AE O0, AEY = 0... 4,24, O0.

Cela suppose

car les sommes des carrés

24, EU... 248, (0, composées des valeurs des fonctions réelles (x), 4, (x),... -Ÿ, ,(&), ne

peuvent pas s’annuler, Or, les coefficients

Hi 4 dans la formule

f(x) = 4,4, (x) + À, Lt) +... .+ À,,%,,(x) + 4, d, (x)

étant nuls, on voit que la fonction f(x), satisfaisant comme d, (&) aux équations mentionnées ci-dessus, est égale à

À, désignant un coefficient constant; donc, ce n’est que par un tel coefficient qu’elle diffère de Ÿ, (x), ce qu'il fallait démontrer.

$ 4. D’après ce que nous avons démontré, la détermination des fonctions

Lo (x), (A (x), de (x), . PDA

à un facteur constant près, se réduit généralement à la recherche d’une fonction entière de degré À, susceptible à satisfaire à l’équation

®, (&) étant une fonction entière de degré y., et y un nombre entier variant de 0 à À — 1 inclusivement.

Pour faciliter la recherche de la fonction f{i) d’après cette condition, nous allons la considérer comme la différence finie d’ordre À d’une certaine fonction Æ(). Cela posé, mettant pour f(i) son expression

(4) fO=AF(), dans l’équation précédente, nous la réduirons à la forme suivante

Or en remarquant que chaque somme de la forme Z U, AÏ V, peut être transformée comme il suit:

(5) SUAÏP,=U, ATV,—A D, ATP. (PAU, 5; +(—1) ZA UT, ,.V,+ 0,

(ce qu’on vérifie aisément en prenant les différences finies des deux membres de cette égalité), nous trouvons d’après cette formule

SOA F()= 4%, (i—1) AT (D) — AY, (— 2) NT F (0) +. —(— 1) AT, G—). FO PTS | À SA 4 EN. F()+ C.

D'ailleurs, 4, (x) étant une fonction entière de degré moïndre que à, la différence ag, (â— à) se réduit à zéro et l'expression précédente de la somme 2%, G) A} F(i) devient

24, OA F (=, (i— 1) AT F (0) — AY, (à — 2) A F (6) +- LAN A G— 2). FO+C D'où l’on voit que l’équation

Sy, (D A} F(D —0 sera satisfaite, si pour les limites — 0, i=n les fonctions AI F(), ATF(i),.... F(ÿ)

se réduisent à zéro, ou, ce qui revient au même, si pour les mêmes valeurs de 4, les expressions

F(i, F(i+1), F(i+9),.... Fi+1—1)

sont égales à zéro, car dans ce cas la fonction Æ(i) et ses À — 1 différences finies s’annulent pour 4 = 0 eti—n.

Or l’annihilation des fonctions

F(i), F(i+ 1), F(i+2),.... Ffi+i1—1), pour à— 0 et i—"#, suppose que la fonction F(i) s’annule pour

i=0, 1,9, NT.

et pour i=n, n+l,n+2,....n+À1—1,

et contient par conséquent dans son expression les facteurs à, 1— 1, i—2,....i—À1+1, in, i—n—1, i—n—2,.... i—n—À1+]I1.

Donc, l'équation (3) sera satisfaite si, en posant fO=AF(, nous prendrons pour F(i) une fonction contenant comme facteur le produit à (2—1) (—2)....(è—À +1) (i—n) (i—n—1) (i—n—2)....(i—n—2X+1).

D'autre part, pour que la fonction cherchée f(i) soit de degré à, la fonction F'(i) dans la formule

doit être évidemment de degré 2À et par conséquent du même degré que le produit

à (—1) (— 2)... — À +1) (in) (i—n—1) (i—n—2)..…..(i—n—À+1).

D'où il suit que la fonction f(i) de degré À, susceptible à satisfaire à l’équation (3) est donnée par la formule

FO =AF(), en prenant

Par conséquent, en vertu de ce qui à été démontré dans le paragraphe précédent à l’égard des fonctions

Do(a), Di(), Da ()e elles seront représentées généralement par la formule (6) ÿ, (x) = GA (œ—1)..….(@— À +1) (2—n) (@—n—1)....(@—n—X+1),

C, étant un coefficient constant.

$ 5. A l’aide de l’expression trouvée des fonctions

P(&), Yi), Y(2),....,

la détermination des sommes contenues dans notre formule

À do (9 w Éd Ou À 4 (ui U= — Lo (TE) + — 4, (x) + W(T)+..:., £ dur (9 da? (D ©? (ÿ

est considérablement simplifiée. .

Nous allons montrer maintenant que les sommes

Su, EhDu, EU...

contenant les quantités w,, %,, %,,...., se réduisent à des sommes, composées des différences finies de ces quantités d'ordres 0, 1, 2,...., et commodement calculables; quant aux sommes

qui ne contiennent pas ces quantités, elles se déterminent définitivement.

Pour transformer les sommes du premier genre, remarquons que leur forme générale est

qui se réduit, après la substitution de l’expression (6) de d,, (x), à la suivante :

(7) Eu, Ati (i— 1)... .(i—X+ 1) (G—n) Gb OEM AT).

Or, en vertu de la formule

EUAV,=U, ATV, AU, ATV (1) AU, V, +(—1) ZA U, , V,+cC,

mentionnée ci-dessus (5), en y posant

Vi=i(i—1)....(i—A+1)(i—n)(i—n—1)....(i—n—À1+1),

et remarquant qu’alors la fonction V; et ses différences AV, A° FAN V, s’annulent pour à — 0 et à — », nous trouverons

RU O6 Di de DU nn DT 0 +1) —

(1) 3661). GA 1)G—n) —n— 1) nl) Au,

ce qu’on peut représenter sous une forme encore plus simple, remplaçant dans la seconde somme à par à + À, ce qui donne

UD le DU D—n- 1)... (in À + 1) — n—À ÿ (1) ZE (4) (1) (1) (An) (in 1)... (in 1) A, —À ou, ce qui revient au même,

ni D LED Un D Gas jet

È (+1) (+2)... (+2) (n—i—1) (n—i—2)....(n—i—2) Au.

Or comme dans la dernière somme à partir de = —X à i— — 1, et de ê—n—ù à i—n— 1, la fonction se réduit à zéro, on pourra y remplacer les limites

i=—),i=n—}), par les suivantes:

(m0 ren,

sans en altérer la valeur et d’après la formule trouvée, on aura Zu, A i(i— 1)... .(i—21+ 1) (—n)(i—n—1)....(ÿi—n—à1+1) = E(i+1)(i+2)....(i+X)(n—i—1)(n—i—2)....(n—i—2) Alu,

ce qui donne, en vertu de (7), la formule suivante pour l'évaluation des sommes

2hOu,24 O%, 2 da (D %,. Le

(8) | 2h Ou = SEL GR TEL) né D (h4200) Mi NA

$ 6. Passant au calcul des sommes 240), Ut), 2 Ge:

remarquons que l’équation (8), pour = d (à), donne, à l’égard de ces sommes, la formule générale 24" CE (i+-1)(é-2). (it) (n—i— 1) (n—i—2). . . .(n—i—2) A, (à). En vertu de la formule (6), on trouve

AW, (à) LE CA (I — 1)... (A+ ln) —n—1)....(i—n—X+1),

ce qui nous donne Ad (= 1:28. LAN CS

et par suite l’expression précédente de la somme

24) se réduit à la suivante Q 2° @ = FT Dei es 6 +1) X 1 ol (n—i—1)(n—i—2)....(n—i—))

Pour faciliter la transformation ultérieure de cette formule, remarquons que

en vertu de quoi la formule (9) peut être représentée sous la forme

ET pe (n—i— 1)(n—i—2)...(n—i—2à)X rh G=12...2.08) 0 4 y Re na 1e

Appliquant à la somme Si —1)(n—à 2)... (ni à) A+) À — 1). GX +1) : |

la formule (5) qui donne généralement À k 1— 1— ZU,A V;=U,, AT V—AU, A V4 —(—1) AU.

+(—1) EAU, ,.V,+ 0, nous devons poser

U,—=(n—i—1)(n—i—2)....(n—i—7), V,=(i+A(i+i—1)....(i—2À1+ 1) Or dans ce cas, les fonctions

AIR AV. AV, EF, s’annulent pour à — 0, et les fonctions