U PT ER ENEE EE S A
pour 2 —n; donc en appliquant cette formule à notre somme, les termes
Nr D TT +1) AD, 2, se détruisent et la somme se réduit à (—1}) ZA U,,.V..
D’après la valeur mentionée ci-dessus de la fonction U,, nous trouverons AU, —A'(n—i+À—1) (n—i+A—2)....(n—;i) ete 128100 et remarquant que V,=(Gi+)(G+À—1)....(i—21+ 1),
nous réduirons ainsi la somme Sn Door Gr 6 EN 6er)
à la forme suivante:
a Genetic. Hotel)
Quant à la recherche de cette dérnière, elle se fait facilement à l’aide des procédés connus du calcul inverse des différences. Ainsi, sachant que
E(i+N (i+Ai—1)....(i—1+1)— = + (G+X—1)....(—N+0C, et remarquant que l’expression
se réduit à O pour & — 0 et prend la valeur
a (+) (n + à — 1)... (0 —2) ou
nn? — 19) (n8— 22)... (nt — N?),
pour à — #, nous obtenons
SH) (XI) 1) = 3 ne (17) (n° — 97). (n?—N).
4 | En vertu de cela, nous trouvons d’après la formule précédente que la
somme
2 (n—i—1) (n—i—2)....(n—i—7 dis h)G ar Eh 5 ee D)
est égale au produit
ñn ce qui, étant substitué dans l'expression trouvée de la somme Z4,°(2), donne ai NA
la formule
| . . 12.22....X2. ..(n2 — X2) (10) 24° 0 — TT s C?.
$ 7. En vertu de ce que nous avons montré par rapport aux valeurs des fonctions 4, (x), d, (x), 4, (x),...., renfermées dans la formule
À do (00 Ë pa (Ou Ë 4e (us U= — D, (x) + D, (x) + dt) +. :..,
2 po? () À y? () S y? (D 0 0 0
et aux sommes de la forme 2h Ou 2h
cette formule se réduit à la série suivante:
Eur SÉGe die 3 1) A (11) U == — + — Fr At(x—n) +
12,92,n (n? — 12) (n? — 9?) AG(G—1)(x—n)(x—n—1) +
ñn
Pie 1)(i+ 2)(1+8)(n—5—1)(n—-i—92)(n —-i—3)Au;, x(x—1)(x—2) X 12.2?.3?.n (n? — 12) (n°? — 22) (n? — 32) À Eten
l’expression du terme général étant:
@a-1) (4-1)... (in) (n—i—1)....(n—i-}) un h (@—1)....(&—X+1) J
Quant aux valeurs des fonctions
AGœ(tz— n), Mx(t—1)(x—n) (t—n—1),
M (@&— 1) (x — 2) (x—n) (x—n—1) En
dont dépendent les termes de cette série et que nous désignerons, pour abréger, de la manière suivante
Ar), (x), (6),.:..,
elles se déterminent facilement par les procédés ordinaires du calcul des différences finies. On peut d’ailleurs déduire sans peine plusieurs formules pour leur évaluation. Aïnsi, en vertu de l’égalité connue
À À À À1— A (1—1) À—2 : U,V,= VA or qe LEE Ta U,+ 1:2 AP A Une, qui détermine la différence A} d’un produit de deux fonctions, en y posant
Fi=btetG=n=t)...@G@—n—21+#1),
nous trouvons l'expression suivante de A} (x): 1.2....1(c+1—mn)(x+i—n—1)....(t—n+1) + 2.2.8, AR (G+Ii—n—l)(t+i—n—2)....(m—n+1) 2 +
qu’on peut écrire d’une manière plus abrégée sous la forme:
T(œ&+À—n) (t+—1—n—1)....(t—n+1) ps
+ (+ —n—1)....(@—n+1l)x A (x)—=1.2....X ni Fe its ,
12.22 TR» 19 ee de» es sien ee ste sleie naines ie sd our ste +R e
Une autre formule plus commode pour le calcul de A} (x) se trouve au moyen de la formule connue
0) = FO) + ET AT QD + ED af) + en l’appliquant au développement du produit (@—n) (t—n—1)....(T—n—À1+1) sous le signe A} dans l'expression A (x) = A x (&—1). . (@—À+1)(x—n)(x—n—1)....(t—n—À1+1), ce qui nous donne
(12) A (x) =1.2....A(—n#)(QA—n—1)....(1—n) +2.2.8....0+1). An) A—n—1)....(2—#)
+ . —n—1)....(3—1) ris ee Lt SUN es 0 en RIT ee TS RE le ed 1 +1) x ST 4 3 Le n —1 157 I UWI2..AX] A— DA + DA +) af—1) (n—1) (n—2)....(n à) ARR Ar Fa | BERRRANS PES (n — 1)in —2)(n—3) VE Ke OR ie
On peut trouver en outre une équation pour la détermination successive des fonctions
A CE Remarquons dans ce but que les fonctions (PER (x) ) (A (x) ) ho, (&), qui, d’après ce qui précède, s’expriment comme il suit: À+- (ER (x) ir Ci AFS (x), d,(æ) = C, A" (x), bu (x) — CG, io (x),
doivent être liées par l’équation
Ya (x) ah Qi UN (x) Si FA de, (x); car les fonctions
do) UG@), LL... 0), WG), be...
désignent les dénominateurs des réduites de la fraction continue
ee 1 Lo En e L\ n Li Dri+., En même temps la fonction D
doit être linéaire, c’est à dire de la forme A% + PB:
car, comme nous le savons, les fonctions d,.,, (x), d, (x), d, , (x) sont de degrés À + 1, À, À— 1, ce qui suppose, en vertu de l’équation précédente, que g,,, est du premier degré. Mettant Azx + B à la place de g, ,, dans cette équation et substituant les valeurs trouvées ci dessus des fonctions
d,,,(&), d, (x), d, ., (x), nous trouvons:
GA (x) = (47 + B) CO A'(x)+L,,, C, AT(x),
ce qu’on peut écrire, après avoir divisé par ©, ,,, comme il suit:
A (x) = (Max + N) A (x) + PAT (x),
en posant
ML, N—ÈA, p— An, EL Nil À +1
Après avoir trouvé ainsi la forme de l'équation qui lie les fonctions À À 1— AT (æ), A°(x), AT (x),
nous trouverons facilement les constantes M, N, P qu’elle contient; on n’a que d’y substituer les valeurs des fonctions
A (2), A\(œ), ATU(x),
pour trois valeurs distinctes de x et chercher pour quelles valeurs des constantes M, N, P les équations ainsi obtenues se trouvent vérifiées. Ainsi, faisant successivement &æ — 0, x—1, x —2, nous trouvons pour détermi-
ner les constantes M, N, P,
les trois équations suivantes: AH (0) = NA“ (0) + PAT (0), At (1) = (M+ N)A*(1) + PA (1), A1 (9) = (2 M + N)A}(2) + PAT (2), d’où l’on tire pour M, N, P les valeurs que voici:
AX+1 (2) à AH (1) # A\+1 (0)
p—-"0) a (1) 8 (0) TT A—I (2) : AÀ—1 G) aÀ—1 (0)?
A (2) A (1) A(0) 1e aù+1 (0) AÀ—1 (0) 7 (0) ” A0) ?
__ AM#1 (1) ne AÂ +1 (0) 4 Ê—- ESS AÀ—1 o) 7 A) AÀ (0) A (1) A (0) /?
ce qui donne, après la substitution des valeurs de AFRO) AO a a A* (0), A* (1), A*(2), AI (O), A+ 1 (1), A1 (2),
tirées des expressions trouvées ci-dessus de la fonction A} (x), P=—R(rn—X), N— (2% +1) (n—}), M=—2(21+ 1),
et par conséquent, d’après ce qui précède, on obtient l’équation suivante entre les fonctions Ar (x), AY (x), ie (x):
AT (x) = (2X + 1) (2% — n + 1) A} (x) —N2 (n°? — 22) A1 (x), En vertu de cette équation et observant que (a) = 1, A°(t)—2%—n + 1, nous trouvons successivement
M(x) = 15(2zx
n + 1) —3 (3n°— 7) (2x —n+ 1), Af(x) = 105 (2%—n+1)—30(3n—13)(22%—n+1)+9 (n?—1)(n?—9), A (x) = 945 (2% — n + 1) — 1050 (n° — 7) (2x2 —n +1)
+ 15 (15n{— 230 n° + 407) (27 —n +1), ete: 7).
$ 8. En développant w à l’aide de la formule obtenue au $ 7 et en y retenant un nombre plus ou moins grand de termes, nous obtiendrons les expressions de « sous la forme des polynômes de degrés plus ou moins élevés, représentant la fonction « avec une approximation respectivement plus ou moins grande. A l’aide de ces expressions approchées de «, on obtiendra ses valeurs
0? 12 guess n—1
avec des erreurs plus ou moins considérables; nous allons nous occuper
*) Ces fonctions, comme il est facile de voir, satisfont à l’équation suivante aux différences finies:
(&œ+2)(c+2—n) A Y+(25+3—-n—X—1)AY—X1(+1) Y=0,
À désignant le degré de Y.
maintenant de la détermination de la somme des carrés des erreurs dans les
valeurs de
qu’on obtient de cette manière, en retenant un certain nombre donné de termes dans le développement de w.
En prolongeant le développement de w d’après la formule (1) jusqu’au dernier terme, nous trouvons:
Z Vo (i) u; 2 4, (i) w È Yn (2) Uÿ (13) U— n Do (&) + n ACT D SPRRRS à n D, (&), Z bo? (i) - D? (i) 2 ph? (à)
ce qui donne, comme il a été dit dans le Mémoire mentionné, tout à fait exactement toutes les » valeurs de la fonction w,
CAMES ARS HAE ne
Elevant au carré les deux membres de cette formule et sommant pour tou-
tes les valeurs entières de x depuis x = 0 jusqu’à æ =”, nous aurons pour déterminer la somme
Zu, l'expression n TEtOw S Ou SG us :
| —4(i) + Di) +....+ + (à) 0 Z Yo? (1) . di? (2) : Yn? (2)
Or ($ 2), comme en vertu de la propriété des fonctions (x), 4, (), a (x), .... là somme
s’annule pour des valeurs inégales de & et v, l’expression précédente se réduit à celle-ci:
ñn n n 2 2 Vo (c) u; pa à ni (2) w; È Zn (ju; | n :
= Z4°(i)+ | — 2h (+... + | —— | 24 (5), Zvo?() | ° 2474 0 Z bn? (9 :
ñn qui donne, après une réduction, l’expression suivante de la somme Zw}:
n 2 n 2 n 2 . (Ewou) (now) (£m ou) Zu?= PERS ar, LS fe AR ns
Sp? (i) DIURTO > v,2(i 0 0 0
ue oil
D'autre part, en faisant passer dans la formule (13) À + 1 termes du second membre au premier, élevant au carré et sommant depuis æ = 0
jusqu'à æ —n, nous obtenons d’une manière analogue pour déterminer la somme
= È A (D wi = u; 7 n Ÿo (2) nt ñn (IA (2) . Z Yo? (0) > 4? (D l’expression suivante n , 2 n 2 n , 2 (Énuom) (End) (Ewow) o Pas RE - D? (0) - Yo? (0)
© Un? ()
Or, d’aprés la composition de cette somme, on voit qu’elle représente la somme des carrés des erreurs dans les valeurs
Uos Us Us - Un)
calculées à l’aide du développement de w en série
Ë 40 (ui Sp (5) us nm n D (&) + ñn DPI 2 2 Yo? (i) . 2 (o) lorsqu'on l’arrête au (À + 1)"° terme Ë 4 (9 2 ah).
z pa? (0)
Donc en représentant, pour abréger, la somme de telles erreurs par
b- d;?, nous aurons, par ce qui précède n 9 n , 2 n 2 (Émutn) (Ëntu) (Emo) Zd— & + + + — Z Y) #12 (2) “+ d)-#2? (t) = Vn° (2)
En comparant cette expression de la somme Zd,° à l’expression trouvée ci-
n dessus de la somme Z 4°, nous remarquons entre elles la relation que voici:
n 2 n ñn 2 G n 2 Yo (?) wi) ( > , (i) wi) ( > x (2) wi) Zd = Zu} — CosEn n DEN RTL AE OURS ° À Do? (1) > Ÿ,? (2) > d}? (à)
qui nous servira pour la calcul de Zd,?.
Quant aux valeurs des termes qui figurent dans cette formule, remarquons qu’en vertu de (8) et de (10), on a généralement pour toute valeur de À
(£ T0 “) Ga n ( 0 :
© Mz
(i+-1) (i-2). (EX) (n—i—1) (n—i—2). .…. .(n—i—à) AÀ “)
sr ?
par conséquent cette formule prend la forme
: (En) s(SG+Dm—i-naw) Zd/= 20, — — me a
12.n (n? — 1?) (2X + 1) ( > (i+-1) (t+2)....(i+À)(n—i—1) (n—i—2)....(n—i—à) AÀ w)
12,92. ,..)2.n (n? — 12) (n? —22)....(n? — À?) ? et donne la relation suivante entre les sommes Zd,?, Zd, ?:
(2à+-1) ( £ (ü+-1) (4-2). ..(2+-à) (n—i—1)(n—i—2).. VARIE du)
Sd=Eà, —
12.22... .X2.n(n?—12)(n 2%... (n°) Ù d’après laquelle il est facile de calculer successivement les sommes 2; Ed, Ed
et de voir comment elles diminuent à mesure que le nombre de termes retenus dans le développement de # augmente.
Quant à la première somme Zd,°, il est facile de voir d’après les formules précédentes, qu’elle est égale à la somme des carrés des différences entre les quantités
Uos WU, Ugo. Un;
et leur moyenne arithmétique
parce que cette moyenne représente le premier terme du développement de u (11).
ERA AR ERP
SUR
L'ENTÉGRATION DES DIFRÉRENTIELLES
