UNE RACINE CUBIQUE
(TRADUIT PAR X. X. PTASCHXXTXY.)
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(Upuroxenie x& VII-my roMy Sanncoxr Hunxparopckoï Araremin Hayx®e, X 5, 1865 r.)
(Lu le 16 février 1865.)
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Sur l'intégration des différentielles qui contiennent une racine cubique.
$ 1. Dans le Mémoire sous le titre Sur l'intégration des différentielles irrationnelles j'ai montré comment on trouve, dans l'intégration sous forme finie des différentielles contenant une racine quelconque, le terme algébrique ainsi que les équations qui déterminent séparément chaque terme logarithmique. Pour résoudre complètement la question sur l’intégration sous forme finie de ces différentielles, il reste à donner le procédé pour calculer les termes logarithmiques d’après les équations qui les déterminent. Jusqu’à présent un tel procédé n’a été donné que pour les cas les plus simples.
Dans le Mémoire connu d’Abel sur l’intégration de la différentielle
“ie (Oeuvres compl., t. I, p. 65) nous trouvons un tel procédé pour le cas
YR du radical carré, p étant une fonction entière et À une fonction sans facteurs multiples. Dans le Mémoire sous le titre Sur l'intégration des difjérentielles qui contiennent une racine carrée d’un polynôme du troisième ou du quatrième degré j'ai montré que par le même procédé on peut détermi-
ner les termes logarithmiques de l’intégrale f#% dx dans le cas même de p
fractionnaire, pourvu que le degré du polynôme À ne dépasse 4. Ce procédé de la détermination des termes logarithmiques dans l’expression de l’inté-
grale Fe dx consiste, comme on le sait, dans le développement du ra-
dical y 2 en fraction continue de la forme
les fractions réduites, que l’on obtient en développant l’expression V R, don-
nent les deux fonctions inconnues qui figurent dans le terme logarithmique 36*
de l'intégrale ( de pour les cas considérés. On peut démontrer que ce
procédé de la détermination des termes logarithmiques s'étend à tous les autres cas de l’intégration des différentielles contenant une racine carrée et qu’il ne faut pour cela que prendre le devéloppement du radical V R en fraction continue de la forme plus générale, savoir:
OÙ S,;, S, 83,--.. SOnt Certaines fonctions de x. Mais si le cas des radicaux carrés peut être résolu toujours à l’aide des fractions continues, il n’est pas difficile à remarquer que les cas des radicaux des degrés supérieurs exigent une autre méthode: dans ces cas la détermination du terme logarithmique se réduit à la recherche des fonctions inconnues au nombre dépassant deux; tandis qu’à l’aide de fractions continues on ne résout que les questions à deux fonctions inconnues. Afin de montrer en quoi consiste la méthode remplaçant, dans le cas des radicaux de degrés supérieurs, le développement en fraction continue qui donne les termes logarithmiques dans l’expression de l'intégrale f% dx dépendant du radical carré, je montrerai dans le présent ed VR d’un radical cubique VAR, en supposant (comme l’a fait Abel dans le Mémoire cité ci-dessus, par rapport aux différentielles dépendant du radical
Mémoire l'intégration sous forme fini de la différentielle dépendant
