PA L

carré) que ? est une fonction entière et VA n’a pas de diviseur rationnel.

$ 2. Comme la détermination du terme algébrique dans l’expression des intégrales en question ne présente, comme on l’a remarqué, aucune difficulté, nous supposerons que ce terme a été préalablement éloigné de

l’expression de l’intégrale [ = dx. Cela posé, d’après le $ IT du Mémoire

cité sur l’intégration des différentielles irrationnelles, le degré de l’expresion à

ja.

ne dépassera pas — 1, et, d’après le $ VIII du même Mémoire, le degré de l'expression

si É pnbÈ A denis ES

ne peut être inférieur à —1; car autrement le nombre de termes dans »: Fig: . , . EN .

l'intégrale Fe dx serait égal à O0. Donc l'expression VE doit être du degré — 1, ce qui suppose l'égalité des degrés des fonctions VR, +. En appelant À le nombre entier désignant le degré de la fonction rationnelle Ê,

nous trouvons donc que la fonction 2 doit être du degré 3 À, c’est à dire de

degré multiple de 3. D’autre part, comme, d’après l'hypothèse, le radical VR n’a pas de facteur rationnel, la fonction À ne doit pas avoir de facteurs linéaires avec l’exposant supérieur à deux, et par suite elle sera, en général, de la forme

où R,, R, sont composés de facteurs linéaires distincts.

Après ces remarques préliminaires nous passons maintenant à la détermination de l'intégrale | Va dx. Puisque ici, par supposition, © est une fonction entière et le radical V Rn’a pas de facteur rationnel, l'expression de

cette intégrale par logarithmes sera, d’après le premier théorème du Mémoire cité ci-dessus, de la forme suivante:

(1) [ de = Klog [o(VR).9* (x V R).p#* (a? V R)],

où ? (V/R) est une fonction entière de la variable # et du radical VR, K— une constante, « — une racine primitive de l’équation binôme

Comme 9 (VER) est une fonction entière de x et de VR, elle sera en général de la forme

X+YVR+Z(VERY,

où X, Y, Z sont fonctions entières de x, ce qui, en remplaçant À par ER, L?,, se réduit à

X+YVR R°+28, VR'R,,

où les radicaux VA, R, VRER, se déterminent l’un par l’autre comme il suit: |

VR RE) = RER, VR' Re.

Fa [

D’après cela, en mettant dans la formule précédente simplement Z à la

place de ZR,, nous concluons que la fonction © (VA) figurant dans l’expression ci-dessus de l’intégrale

[a de

sera en général de la forme:

X+YVRR'+ZVRPE,,

où X, Y, Z sont fonctions entières, le radical VE, R est identique à VAR

et le radical V2, R,? se détermine ainsi: