ER, VRPR,=(VR, R°) =(VR

Il n’est pas difficile à remarquer que dans cette expression de © (V R) les polynômes X, Y, Z peuvent être censés délivrés de leur commun diviseur; car cela est équivalent à la supression dans le produit

o(VR).p" (x VR).p% (a? VAR) de ce facteur élevé à la puissance 1 + &« + &°?, et la somme 1 + « + o° se réduit à zéro, d’après la propriété des racines primitives de l’équation a’— 1 —0. D’après cela nous supposerons toujours que dans l’expression de la fonction ® (VR) par la formule

p(VR=X+YVR R?+ZVREIR,

les polynômes X, Y, Z' n’ont pas de diviseur commun. De plus, il est facile à voir que l'expression de l'intégrale par la formule (1) peut être présentée de sorte que les fonctions o (VR), (} (aVR),

o (a? VR), s’annulant pour une valeur quelconque + = x,, ont pour facteurs des puissances entières (et non fractionnaires) de z—x,. En effet, cette formule peut être représentée ainsi:

[= F PEER - K log Le° (VR) : op? (a VE) £ pie (æ? VR)]

[de = Kolog | @(VR) 96" (a VA). (& VR)], où K=3k, PR (VR)= (VER).

La fonction @,(V R) a evidemment la même forme que celle de (o VR), c'est à dire X+ZVRR?+7Z VR? L,; or, d’après son expression par

la fonction ( (VR), on voit que si o, (a* VER) s’annule pour æ=— x, et contient en facteur la puissance » de æ—x,, la fonction o (a VA) doit s’annuler de même pour æ—x, et contenir en facteur la puissance — de t—%, ce qui suppose » entier, Car o (VR), étant une fonction entière de x et du

radical cubique VA, ne peut contenir en facteur la puissance fractionnaire de æ—x, autre que celle qui a 3 pour dénominateur.

Nous supposerons toujours que l'expression de notre intégrale est

réduite à la forme dans laquelle les fonctions o(VA), o(aVR), o(aVR), s’annulant pour une valeur quelconque + = x,, ont pour facteurs des puissances entières de æ—x,, et que les polynômes

PE qui figurent dans la fonction o(VR), n’ont pas de diviseur commun. Cela

posé, il n’est pas difficile à voir que pour aucune valeur de x toutes les trois fonctions

g(VR), e(a VR), p(a VE) ne peuvent s’annuler simultanément . En effet, nous avons p(VR)=X+YVRR +ZVR'R, ce qui donne pour la détermination des expressions: (a VR=X+0YVR R,+&ZVRER, o (a VER) = X + 0 YVR, R?+ wZVR? EK,; d’où il suit, en vertu de la propriété des racines de l’équation o — 1 — 0: o(VR)+o(a VR)+p(# VR)=3X, (9 (VR)+ a 9 (x VR) + & 9 (0° VR)=3ZVRPER,, o(VR)+ a o(a VR)+ a o(@VR)=38YVRR}.

Or, on voit de ces équations que si toutes les trois fonctions

o(VR), o(a VR), g(& VE)

s’annulent pour une valeur quelconque x — x,, et, par suite, sont divisibles, d’après ce qu’on a démontré, par des puissances entières de 4—x,, il en sera de même à l’égard des fonctions

X, ZVRER,, YVR Rà:

et comme d’autre part les fonctions R,, R, sont composées de facteurs lineaires distincts et, par suite, les radicaux

VRPER,, VR Rà

: : \ : QE ne peuvent contenir en facteur une puissance supérieure à Le de x — x, cela suppose que les fonctions

se div À

contiennent le facteur 4 — x,, par conséquent qu’elles admettent le diviseur commun; ce qui est contraire à notre supposition.

$ 3. Comme p dans la différentielle en question

est une fonction entière, nous parvenons, en vertu du $ IX du Mémoire mentionné à la proposition suivante concernant la détermination de Ja

fonction o (VER) qui figure dans l’expression de l’intégrale

p [ ve dx par la formule

K log [o(VR).0% (a VR). 0% (a VR)],

L'expression

p (VR). “(a VR). p% (a VR)

reste finie pour toutes les valeurs finies de la variable.

D’après cela il n’est pas difficile à démontres que les fonctions

o(VR), o(a VR), o(& VR)

ne s’annulent pour aucune valeur finie de la variable. En effet, en supposant qu’une valeur quelconque x — x, annule une ou plusieurs de ces fonctions

io dd detié ER MES été Se

et désignant par p,, k., p, les exposants du facteur z—x, dans ces fonctions, nous trouvons que le degré du facteur — x, dans le produit

Q(VR).p* (a VR).p% (& VR) doit être égal à

Pet he pee;

et comme, d’aprés la propriété énoncée, ce produit reste fini pour æ —%,, la somme + pu, « + pa? doit se réduire à zéro. Mais, d’aprés la propriété des racines primitives de l’équation &ÿ — 1 — 0, l'égalité

b+rLa+pa—= 0,

OÙ Ho, L,, be, Sont, comme on l’a vu dans le $ précédent, des nombres entiers, ne peut subsister que pour

Bo + Hi Le Po) ce qui ne peut avoir lieu, car cela suppose que toutes les trois fonctions o(VR), o(« VR), o(« VR)

s’annulent pour x —%..

Après avoir démontré qu'aucune de ces fonctions ne se réduira pas à O pour une valeur finie de #, nous remarquons qu’il en sera de même à l'égard du produit |

o(VR).o(« VR).o(& VR),

et comme ce produit présente évidemment une fonction rationnelle et entière qui ne peut rester différente de zéro pour toutes les valeurs finies de la vari-

. able que dans le cas où elle se réduit à une constante, nous en concluons que

(2) p(VR).p(a VR).e(# VR)= 0,

où C' désigne une quantité constante.

$ 4. En vertu de la proprosition du $ précédent nous voyons que la possibilité d'exprimer l'intégrale

par la formule (1) suppose la possibilité de satisfaire à l'équation (2) par la fonction © (VR) de la forme

X+YVRR +ZVERER,,

où X, Ÿ, Z sont des fonctions entières de x, et À, AR.” est la décomposition du polynôme Z en produit de facteurs simples et doubles.

Réciproquement, en supposant que la fonction

e(VR=X+YVRRE+ZVRE,

satisfait à cette équation, on prouvera par différentiation que l'expression Klog [p(VR).@"(a VR).o%*(& VR)],

sera la valeur de l’intégrale:

ee dx,

où 9, est une fonction entière. En appliquant à cette intégrale ce qu’on à dit dans le $ 2 relativement à l'intégrale

Vr dæ, nous remarquons que l’expression de sera aussi du degré — 1.

Outre cela, il est facile à voir que les intégrales de la forme

PE dx

obtenues au moyen des solutions de l’équation (2), seront égales à un facteur constant près.

En effet, soient pe 0. Gr, JE dr

deux intégrales qu’on obtient au moyen du procédé indiqué ci-dessus en

prenant pour œ (V2) deux solutions différentes de l'équation (2); ces intégrales s’exprimeront seulement à l’aide des logarithmes, donc il en sera de même par rapport à l'intégrale

Co Po — C [ 0 (En 1 gr, V7 R

quelles que soient les valeurs des coefficients constants C, et C,. Or, en choisissant convenablement les coefficients C;, C!, on peut réduire l’expression

Co Po — Ci Pi = (C AN à ;

LE Ur DE

à celle de degré inférieur à — 1, puisque d’après la remarque ci-dessus, les expressions

seront de degré — 1; mais dans ce cas ($ 2) le nombre de termes dans l'expression de l'intégrale .

[re Gi Jr VE

se réduit à O et, par suite, sa valeur est une constante, ce qui suppose l’é-

galité :

Co Po — Ci ei — VR

D'où il suit que les intégrales

déduites des différentes solutions de l'équation, ne diffèrent que par des facteurs constants.

Done, il est clair qu’afin d'obtenir toutes les intégrales de la forme

exprimables par la formule (1), il suffit de trouver une solution de l’équation (2), et qu’à l’aide de cette solution nous trouverons toutes les valeurs de

la différentielle 53 dx, intégrables par une telle formule, en différentiant

l'expression

| Klog [o (VAR). 0" (a VAR). et (ae VR)],

où la fonction ® (V R) satisfait à l’équation (2) et Æ est un coefficient arbitraire. Dans le cas, où il est impossible de satisfaire à l’équation (2) pour

une certaine valeur de À, aucune intégrale de la forme Pa dx ne s’expri-

mera par la formule (1).

Notre problème de l’intégration de la différentielle de la forme

se réduit ainsi à la recherche de la solution de l’équation

o(VR).o(« VR).o(& VR)=C, où o(VR)=X+ YVRR +ZVR'R, et BR, R°=R,

c’est ce qui nous occupera dans les paragraphes suivants. Indiquons encore ici le lien qui existe entre la question sur l’intégra-

tion de la différentielle Rd

dont il s’agit, où R—2R,R, et la même question à l'égard de l’intégrale FE dx, où R,—R;?R,. En appliquant à la dernière intégrale ce qu’on

a déduit relativement à la première, nous trouvons que l’expression de la nouvelle intégrale par l’expression de la forme (1) sera la suivante:

(0) 3 a 3 à 3 [ pa, 0 = Ko 08 [(V Ro). qu” Ce VRo) qu (8 VRO)],

où la. fonction Po (VR,) = X,+ }, VRE R,+ 2, VAR Rÿ

représente la solution de l’équation Po (VR,) * Po (@ VR) * 2 (a? VR) = C.

En comparant la forme des fonctions

Po (VR) = X, +}, VR Ra + 2 VR BR AaVR)=X,+ar, VR?R, +7, VR R, D VR)=X + VRER, +aZ VER,

qui y figurent, avec celle des fonctions o(VR)=X+Y VR R?+ZVR'R,, (a VR)=X+aYVR R+&@ZVRER, p (x? VR)=X+ a YVRR/+aZVR'R, qui déterminent la valeur de l’intégrale

[dr

pour À — À, R°, nous remarquons, d’après la forme de ces fonctions, qu’on peut poser

Do (VR) = 9 (VR), Po(a VAR) = pa VR), (a VR,)—= (x VR).

Comme pour ces valeurs des

Po (VRS), Po (x VR;), Po (@* VR,) l’équation PVR) -qo(a VAR). Pole VAR) = C

se réduit à l'équation o(VR).q(a VR).@ (& VR)—= C

à laquelle satisfait la fonction o (VR), il n’est pas douteux que ces valeurs

des fonctions e(VR), œ(« VR), œ(a? VR) correspondent complètement aux conditions de la formule ci-dessus qui donne la valeur de la nouvelle intégrale ; [ da; V R donc, nous trouvons d’après cette formule

êe de = Ko log | (VR).g° (a ÿR) ge (a VR)|.

Ainsi la fonction o(VA), que Pont obtient en résolvant l’équation

® (VER).o (ce VR).0 (0 VR) = C,

re BTE ns

va nous servir à déterminer l'intégrale

fr dx aussi bien dans l'hypothèse de R=ER, R}, comme dans celle de | R=R°R;:

dans le premier cas l’expression de cette intégrale sera donnée par la formule K log [o(VR).o" (a VR).p% (& VR)], | et dans le second cas par la formule K log [o (VR).9 (a VR).o% (x VR)].

$ 5. Quant aux solutions de l’équation ?(VR).9 (x VR).o(& VR)=0C où la fonction ® (V/R) est de la forme X+YVRR'+ZVRER,,

il est facile à voir qu'au moyen d’une seule de ces solutions on peut en trouver d’autres en nombre infini. En effet, si l’on satisfait à cette équation en posant

?(VR)= 9 (VR), où p, ( V R) est une fonction de la forme X+YVRR3+ZVRIE,, cette équation sera satisfaite aussi par g(VR)= qu (VAR). qu (a VAR). guis (et VER),

où p., pe, pe, Sont des nombres entiers positifs quelconques; car la fonction o(VAR) donnée par cette formule sera aussi de la forme

X+YVRR'+ZVRIR,,

ne me et l'équation dont il s’agit se réduit pour cette valeur de ® (VR) à l'égalité [2 (VER) -Do (& VR) * Lo (&? VR)]+ THERE — C,

qui aura lieu si la fonction p,(VR) vérifie notre équation. En vertu de cela il n’est pas difficile à montrer que pour chaque équation résoluble

o(VR).o(a« VR).o(& VR)=0C,

on peut trouver une telle solution, dans laquelle la fonction o (VR) est du degré négatif et les fonctions o (x VR) et o (o? VR) sont de degrés positifs égaux entre eux.

En effet, soit e(VR)= 9 (VER)

une solution quelconque de notre équation; n,, »#,, r,les degrés des fonctions 9 (VR), p(2 VR), g(& VA)

et N le plus grand des nombres #,,n,,",. En posant dans la formule cidessus qui détermine les solutions de notre équation d’après l’une d’elles

=N—n, B=N—n, pB=N—n, nous trouvons

(VR)= 0) 0 (VR). 9) "4 (a VR). 9," (et VR).

En remarquant que, d’après l’hypothèse, les fonctions e(VR), 2 (& VER),

Po(c? VR) sont des degrés 9, %, %, nous trouvons d’après cette formule que les degrés des fonctions

PVR) = QC (VR).p "(a VR).p "(a VR), pa VR)=p "(a VR).p "(a VR).p (VER) pe VR)= 0)" (& VR).9 1 (VR).9 "2 (x VAR)

ont les valeurs suivantes:

Nin+n+n)—1n)? —1"n — NM, Ni +n, + nn) —1Nn—1n0— NN;

N(n+N + N) — Mol — M 0 — Na:

— pré = Or la somme n, + n, + n, désignant le degré du produit Po (VR) po (a VR).p0 (er VE),

qui, d’après notre équation, se réduit à une quantité constante, cette somme doit être égale à 0; et, par suite, les valeurs ci-dessus des degrés des fonctions

PRE 3 8 :P(VR), q(a VR), e(& VAR) se réduisent à celles-ci — D NE, — no — M No — No Nos — No Mg — No Mi — Mg Nas

Il en résulte que la première de ces fonctions est du degré négatif et les deux autres sont du même degré, et comme la somme de tous ces degrés se réduit à —(n, +2, +n,) — 0, on s'assure que les deux degrés égaux doivent être positifs.

Après avoir démontré que parmi les solutions de notre équation il se trouve toujours une telle, dans laquelle l’expression o(VR) est du degré négatif et les expressions o(x VER), o (a? VR) sont du même degré positif, nous allons nous occuper maintenant de la recherche de cette solution. En

appelant »# le nombre désignant le degré des fonctions o (x VR), o (a? VR) dans cette solution etremarquant que, d’après notre équation, la somme des

degrés des fonctions o(VR), o(æ VR), o (a? VR) est 0, nous trouvons que le degré de la fonction o(V/R) sera égal à — 2n. Réciproquement, ilest facile à voir que notre équation sera vérifiée toujours si, le degré de o(VR) ne dé-

passe — 2n, et les degrés des fonctions o(x ŸR), ? (2 VR) ne dépassent n, où » est un nombre quelconque; car alors le degré du produit

o(VR).0 (« VR).o (x VAR)

ne dépasse 0. Or il est clair d’après la composition de ce produit qu’il se réduit à une fonction rationnelle et entière et une telle fonction, étant du degré zéro, sera égale à une quantité constante, ce qui suppose l'égalité

o(VR).o (x VR).o(& VR)=C.

Il en résulte que la détermination de la solution cherchée de l’équation (2) se ramène à la détermination de la fonction © (VAR) de la forme

KA TVRR a ZVRIRS

M de:

telle que son degré ne dépasse —2 n et les degrés des expressions ® (æ VER), (a? VA) ne dépassent n, où » est un nombre quelconque entier et positif. D'autre part, d’après la formule LL (VR) = X+7Y VR, BR? + ZVRS Le, nous trouvons, comme on l’a vu dans le $ 2, 3X—09 (VR) + 0 (a VR)+o (a? VR), ar VER, R}—=39 (VR) + & o (æ VER) + ao (a? VR), 3Z VRE, == P (VR) + a (a VR) + a? o (a? VER); d’où l’on voit, que dans la solution cherchée de l’équation (2) les termes X, YVRR: ZVR'E, seront de degré ne dépassant ceux des fonctions (VR), q(a VER), ?(@ VR),

et, par conséquent, les degrés de ces termes ne dépasseront la limite ». Réciproquement, il est clair de la formule

p(VR)=X+YVRR;+2VRE, que les fonctions e(aVR), o(# VER)

seront de degrés ne dépassant », si cela a lieu par rapport à chacun des termes

X, YVR,R3 ZVRPR,.

Donc, en vertu de la remarque précédente concernant la solution cherchée de l’équation (2), la détermination de cette solution se ramène à la recherche des trois polynomes X, Y, Z, pour lesquelles tous les termes de l’expression

p(VR=X+YVRR}+ZVRER,

seraient de degrés ne dépassant » et le degré de cette expression elle-même

ne dépasserait — 2», où » est un nombre entier positif quelconque. C’est

de la détermination des polynomes

XYZ

dans la formule

o(VR=X+YVRR +ZVRR,,

d’après ces conditions, que nous nous occuperons maintenant.

$ 6. En attribuant à n une valeur quelconque, nous trouverons, dans cette hypothèse particulière par rapport à n, la limite supérieure des degrés des polynomes X, Y, Z, d’après la condition que les expressions

XAYVERS ZVRIR,

doivent être de degré non supérieur à n; et pour déterminer les coefficients de ces polynomes nous remarquons que, d’après nos conditions, l’expression

X+YVRRSeLVRIE,

doit être de degré ne dépassant —2# et, par conséquent, dans son développement suivant les puissances descendantes de x, tous les termes jusqu’à

- 1 = - A . < 4 : s ” celui en =; doivent disparaître. On en tire le système d’équations qui doi-

vent être vérifiées par les coefficients des polynomes X, Y, Z'et qui seront linéaires par rapport à ces coefficients. Si ces équations seront compatibles, leur solution va nous fournir les coefficients des polynomes X, Y, Z; dans le cas contraire il sera évident que la valeur considérée de n n’est pas admissible, Le nombre n étant inconnu, comme on le voit, une pareille détermination des polynomes X, Y, Z exige à éprouver les diverses valeurs du nombre », jusqu’à ce qu’on ne parvienne aux équations qui admettent des solutions. De telles épreuves de diverses valeurs de n sont d’autant plus pénibles que, pour chaque valeur particulière du nombre », il faudra former de nouvelles équations, et ces équations, avec l’augmentation de », deviennent de plus en plus compliquées. Une pareille difficulté se présente dans la résolution du problème que nous considérons aussi bien dans le cas du radical carré, mais dans ce cas on l’écarte à l’aide de fractions continues, car alors on n’a que deux polynomes à trouver et les conditions qui les déterminent se réduisent à ce que les expressions X, Y V À soient de degré ne dépassant une certaine limite » et que la différence X — YV R soit en même temps de degré ne dépassant —»; ce qui démontre immédiatement

l'identité du rapport avec l’une des fractions réduites obtenues en développant le radical V À en fraction continue. Dans le cas que nous étudions

ici, où l’on a trois polynomes à trouver, il est évident que les fractions