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continues ne peuvent être appliquées; le procédé, remplaçant ici le développement en fraction continue, sera l’objet des paragraphes suivants.

$ 7. L'expression o(VR=X+YVRR +ZVRER, ne peut être de degré inférieur à — 2 n, si ses termes MERE AVR E et, par conséquent, les expressions o(x VR)=X+aYVRR;+@ZVR'R,, o(@ VR=X+@YVRRE+aZ VRPER, sont de degré non supérieur à n; car autrement le degré du produit o(VR).o(a« VR).o(« VAR)

serait négatif, ce qui est impossible, par ce que ce produit se réduit à une fonction rationnelle et entière. On voit de là que les polynomes cherchés X, Y, Z, pour lesquelles l'expression

o(VR)=X+YVRR'+ZVREE,

est de degré ne dépassant —2 » et dont chaque terme est de degré ne dépassant », réduisent cette expression à celle d’un degré le plus petit possible, au quel elle peut être abaissée dans le cas où les degrés de ses termes ne dépassent pas la limite ». Il est clair de là que ces polynomes, pour une certaine valeur de N — n, fournissent la solution du problème suivant:

Parmi les expressions de la forme X+YVR Ri+ZVRSER,,

dont les degrés des termes X, YVR, R}, ZVRER, ne dépassent pas N, trouver celle du degré le plus petit.

D’après cela, nos polynomes (si seulement l'équation cst résoluble) se trouveront parmi les systèmes de valeurs des X, Y, Z que l’on obtient en résoivant notre problème dans l'hypothèse de N — 1, 2, 3,.... Parmi ces systèmes de valeurs des X, Y, Z nous reconnaitrons aisément celui qui

donne les polynomes cherchés; car pour ces valeurs des X, Y, Z Ie degré 37*

de X+ YF VR, R? +727 VR, 2, ne dépassera — 2», où » est la limite des degrés des X, YF VAR, R?, ZVR?R; pour toutes les autres valeurs des X, Y, Z le degré de l’expression

XHYVR R'+ZVR'R,,

sera plus élevé, comparativement à ceux des termes X, Y VR,R3, Rice VRER, R,, Ainsi toute la difficulté dans la recherche de nos polynomes se réduit à la détermination des solutions du problème énoncé qui correspondent aux diverses valeurs de N. C’est de cela que nous nous occuperons maintenant. En abordant ce sujet nous remarquons que pour toutes valeurs de N

inférieures aux degrés de VA, R? et de VAR, l'expression XHPVRESEZVRIR, dans notre problème ne doit contenir de termes YVRRS ZVR'R;

puisque leurs degrés, pour ces valeurs de N, seront toujours supérieurs à N. Par conséquent, pour ces valeurs de N, l'expression

X+YVRR+ZVRPE,

se réduira au seul terme X; et comme le moindre degré de X est 0 et ce degré correspond à la réduction de cette expression à une quantité constante, le problème considéré, pour toutes les valeurs indiquées de N, aura pour solution

Q(VR)=X+YVRR + ZVRER,=0C.

Pour les valeurs de N qui, n’étant inférieures au degré de VRR, sont inférieures au degré de VR° R, ou, au contraire, n’étant inférieures au degré de VRER,, sont inférieures à celui de VAR, R, l'expression

Q(VR)=X+YVR R°+2VRE,

considerée dans notre problème n’aurà que les deux termes: ou

X+YVRRS, ou

X+ZVRR,,

LS CE AT des mis