L - LA ax positive, ce qui donne Lx > ; surpasse la somme

Donc l’expression précédente

a (x — 6) n \ log" (x — 6) re log" me)

z=a+1l qui, après les réductions, devient x —S n 1 :

En) ee z=4a+1

or, cette dernière expression est évidemment supérieure à celle-ci

T—S 1 le) Dar x—=a+-1 laquelle, pour s — co, se réduit à æ—= 1 n à SR LES F+a(i—;f) pas æxl+??

x=a+1 ou à co e—az Hoeteee 15 [ e—2 xp dx

Il est facile de faire voir que la quantité à laquelle nous sommes parvenus converge vers la limite + co pour p—0. En effet, on a d’abord

co

| y dt = + oo, J e* dx—1, de plus & et 1 — de sont toutes deux

des quantités positives, la première par hypothèse, et la seconde en vertu de la dernière inégalité (2).

Nous étant assurés de cette manière que, dans l'hypothèse admise, non seulement la somme

Z— oo ‘ 4-1 d log"

mais aussi une quantité plus petite qu’elle se réduit à + co, nous sommes en droit de conclure que l’hypothèse en question est inadmissible, d’où dé-

coule de suite la légitimité du théorême II.

se JU

$ 4. Il sera facile actuellement, en vertu de la proposition précédente, de démontrer le théorème qui suit:

Ill-éme Théorème.

L'expression — log +, pour & — co, ne peut avoir une limite différente de — 1.

Démonstration. Soit L la limite de la différence RES — log æ pour

æ — ©o. Dans cette hypothése on pourra toujours trouver un nombre N tellement grand que pour x > AN la valeur de a — log æ sera comprise

entre les limites L— € et L+e, & étant aussi petite qu’on voudra. Ainsi, pour de semblables valeurs de x, et lorsque e > 0, on aura

(4) — log x > L— ns D EL +- €.

? re (x)

Mais, en vertu du théorème précédent, les inégalités

> [ii nes roc fe eï æ

sont satisfaites par une infinité de valeurs de x, et par conséquent aussi par des valeurs de + supérieures à N, pour lesquelles les inégalités (4) ont lieu. Or, ces inégalités, combinées avec celles que nous venons d'écrire, conduisent à

3 — log x > L—e, = — log x < L+e:; dx ax dx CH logæ log? x logæ * logf a 2 2 d’où l’on tire dx ax : æ— (log æ— 1) . log x — #3) L+1< = HE, dx ax log æ log" x zx dx ax x — (log x — 1) (| Er :) L+1> = — 6.

dx ge ax log æ log" æ

SÉS:| oo

On voit par ces inégalités que la valeur numérique de L+ 1 ne surpasse pas celle de l’une des expressions qui en forment les seconds membres. De plus « peut devenir aussi petite qu’on voudra dans l'hypothèse de N très grand, et on peut en dire autant de chacune des quantités

x d x — (log x — 1) ( Fr)

zx 2 dx __ ax log æ F log" x

car, pour æ — co, on trouve par les principes du calcul différentiel que leur limite commune est zéro.

Nous étant ainsi convaincus que les limites

< dx ax x — (log z— 1) (| log x 4: log” :)

= Æ €, de. ax log x + log x de la valeur numérique de Z+1 peuvent être diminuées à volonté, nous sommes en droit de conclure que Z + 1 — 0, et par conséquent L = — 1, ce

qu'il s'agissait de démontrer.

Ce que nous venons de prouver relativement à la limite de la valeur

x z de 5@ 108 æ, pour æ = co, ne s'accorde pas avec une formule donnée par Legendre pour déterminer approximativement combien il y a de nombres

P premiers inférieurs à une limite donnée. D’après lui la fonction © (x), pour

æ très grand, est exprimée avec une approximation suffisante par la formule

HA PO ox —ross66

Fe. 2 (x)

qui donne pour la limite de — log x le nombre — 1,08366 au lieu de — 1.

$ 5. En partant du théorême IT on peut déterminer la limite supérieure du dégre de précision avec lequel la fonction, désignée par © (x), peut être remplacée par toute autre fonction donnée f{x). Dans ce qui va suivre nous comparerons la difference f(x) — 9 (x) avec les expressions É æ 2 logæ? logx' logs x?°