HAS
nous remarquons qu’elle se réduit à la différence K'|X"+Y"VRRS+Z'VRER,]—K'|X'+YVRRE+Z VER, |,
où, d’après la remarque précédente concernant les coefficients de x” dans les développements
X'eYVR REZ VRER KE TVR MAL TRIER,
le terme en 2” disparaît et, par suite, le degré sera inférieur à », ce qui,
contrairement à l’hypothèse, fait voir qu’on peut abaisser Le degré de l’expression KE TVR AEZTVRR
au dessous de », tout en laissant ses termes, conformement aux conditions du problème, de degré ne dépassant N; car il est clair que la limite de ces degrés sera la même pour les deux solutions de notre problème
X=X NV); 4—2%) Re X, PET eee comme pour les polynomes X, Y, Z déterminés par les formules X=K X'"—K"X;Y=K F-K TY,Z—=K 7"—K"S:
Après s'être convaincu que pour chaque valeur donnée de N notre problème n’a qu’une solution, nous passons maintenant à l’étude de la relation, qui existe entre ses solutions pour les diverses valeurs de AN.
Nous avons vu que pour toutes valeurs de N, inférieures au degré . de VAR, R? et à celui de VR?2R,, notre problème a la solution suivante:
o(VR=X+YVRR}+ZVRPR,= 0,
ou, en supprimant, conformement à la remarque précédente, le facteur constant C, é b(VR =:
Donc, en désignant par », le plus petit des degrés des fonctions VER, R}, VREE,, nous aurons pour toutes les valeurs de N, depuis N—0 jusqu’à N— nn, exclusivement,
o(VR)=1.
En Dent aux plus grandes valeurs de N, désignons par D(VR)=X, +7, VRR +2 VRR, pe, (VR)=X, + y, VR RS +Z, VR'E.,
la suite de diverses valeurs de la fonction p(VR=X+YVRR + ZVR'E,, obtenues en résolvant notre problème quand on prend pour N successivement Nos ME 1, W+2,....
Comme le même système des polynomes X, Y, Z'et, par suite, la même va-
leur de la fonction © (V/R) peut se présenter dans les diverses hypothèses concernant le nombre N, nous supposerons pour plus de généralité que
p (VR)=@ (VER)
correspond aux valeurs de N depuis N =», jusqu'à N = n, exclusivement 0 1 ?
que
? (VE) sd à (VE)
correspond aux valeurs de N depuis N — n, jusqu'à N — n, exclusivement, etc., en général que
e(VR)= 9, (VE)
représente la solution du problème depuis N — n, jusqu'à N—n sivement.
re exclu-
$ 9. En abordant l'étude de la suite des fonctions Po (VER), DVR),.... p, (VE),....,
que l’on obtient, comme nous venons de voir, en résolvant notre problème pour les diverses valeurs de N, nous allons considérer en premier lieu comment on détermine les solutions de notre problème. En désignant les degrés des fonctions VR, h; VRER, par À, N, et remarquant que, d’après les conditions du problème, les degrés des termes de l’expression
e(VR)=X+YVR RE + ZVRR.
ne doivent dépasser N, nous en concluons que les polynomes X, Y, Z doivent être de la forme suivante:
X=L,2"+ La" +... +Lyx + Ly:, Y= Mat + Mate + Mot + My, Z= Pa + Pete + Pr + Pr ve où Liber Le Bi 1e 20. he My, My:
Le: LS see, Py-r, Py-r
sont des coefficients constants au nombre 3 N — À — \ +3. En substituant ces expressions des polynomes X, Y, Z dans la formule
p(VR)=X+YVRR+ZVREE,
et remplaçant les radicaux VR RE, VRER,
par leurs développements suivant les puissances descendantes de x, nous trouverons pour la fonction @ (V R) un développement de la forme suivante:
Ka" + Kat +. + Ky na 4 Kyo Hess.
où les coefficients | Me ME RE
sont des fonctions connues, linéaires par rapport aux 3N—X—\ +3 coefficients des polynomes X, Y, Z. En passant au cas où les polynomes considérés présentent la solution de notre problème et désignant par » le degré jusqu’au quel peut s’abaisser le degré de l’expression ® (VR) par ces polynomes, nous voyons que dans ce cas les polynomes X, Y, Z doivent satisfaire aux équations
OU GE ÉRRQENS dAE 5: Je ieee 9 6
où C est une quantité différente de © (elle sera calculée à l’aide des coefficients des polynomes X, Y, Z dans la solution considérée de notre problème). On voit de là que les équations
K =0 Ke: Mise Hs ©
ne peuvent se trouver incompatibles lorsqu'on les résout par rapport au quantités
rer Ly1
L,, M,, M. re My) PoPirpes
D'autre part, il est facile à voir que ces équations ne peuvent avoir plus d’une seule solution. En effet en admettant le contraire et supposant que
7 LA; #7, > ere
représentent les deux systèmes des polynomes X, Y, Z dont les coefficients vérifient ces équations, nous en déduirons que l’expression
p(VR)=X+YVR R'+ZVRER,, pour
X—X = X" Y=Y-—};" Z—7 7", se réduisant à la différence X+YVRR}+L'VRER,—(X'4+ V'VR RE + L'VRE R,)
sera de degré inférieur à #, ce qui est contraire à l'hypothèse que » est la
limite inférieure du degré de l'expression X+YVAR?+ZVRER,
dans notre cas.
En vertu de ce qu’on vient de voir, nous concluons que les équations K, ee 0, K, = d;. S.E.0 à: PP == 0, Ke, —= C,
ne peuvent se trouver ni éncompatibles, ni indéterminées, lorsqu'on les résout par rapport aux quantités
et cela suppose, comme on le sait, que le nombre d'équations n’est pas inférieur à celui des quantités inconnues; donc:
ce qui donne m£Z—(2N—1—X + 2).
Cette formule est déduite dans l'hypothèse de N non inférieur aux nombres
à et N, degrés des fonctions VA, A? et VRER,; dans le cas contraire, l'expression p(VR)=X+YVRR}+ZVRR,
ne peut contenir tous les trois termes; mais il n’est pas difficile à montrer que même dans ce cas la formule
mzZ —(2N—À1—X + 2), peut servir à déterminer la limite du degré de ® (VER). En effet, si N<<\ et > la fonction sera, d’après le $ 7, de la forme XEFVRR
et le problème se résout, dans ce cas, à l’aide de fractions continues comme . . X , Lé s , . / il suit: =; sera trouvé dans la suite des fractions réduites. obtenues en dé-
3 PRE «ete . . . .
veloppant — VAR, R.? en fraction continue et cette fraction sera la dernière dans la suite avec le dénominateur de degré ne dépassant N— À. En re-
marquant que, d’après la propriété des fractions continues, la fraction + ainsi obtenue donne la valeur de
RARE —ŸR RS rigoureuse lusqu’aux termes de degré de 8 J
Ya" —À-+1 2
nous en concluons que l'expression
sera de degré ne dépassant celui de ; À
Ya kr1 ?
et, par conséquent, le degré de l’expression
X4-VVRERS
ne dépassera —(N— À +- 1), comme cela suppose la formule
ON I. | +02) pour NW > N\.
Nous trouverons le même pour N<X et >X.
Quant aux valeurs de NV qui sont inférieures à À et à À’, dans ce cas, notre problème, comme on l’a vu, a pour solution
e(VR)= 1,
et, par conséquent, on à ici »# — 0, ce qui est encore conforme avec la formule générale pour #, qui pour À > N, \ > N donne
Nous voyons donc que, pour toutes valeurs de N, la fonction ® (VR) obtenue par la résolution de notre problème sera de degré ne dépassant —(2N—)1—X +-2), En prenant Loue n,,,-— 1 et remarquant que, d’après notre notation, la fonction © (VR) qui resout notre problème pour N=n,, —1 est
o, (VER),
72 . , </ nous en concluons que le degré de cette fonction ne dépasse pas — (2n,,,—À—A )
Pate R 3 F R,R ou, ce qui revient au même, ne dépasse pas le degré de ——-, car Zi, À, O1
d’après notre notation, est de degré À + \. Cela nous donne le théorème suivant concernant la suite des fonctions
PVR), GVR), AVR)... p VER), p,,(VR)....:
Théorème,
Le degré de l'expression o (VER) n'est pas supérieur à celui de Ri Ro | ” No+1
$ 10. En vertu de ce qu’on vient de démontrer, le calcul des fonctions
, où n,,, est la limite des degrés des termes de la fonction
Po
Po (VER), ®1 (VER), Pa (VR), Ve
peut être réduit à la détermination des fonctions plus simples, dont les ter-
mes sont de degrés inférieurs à celui de À, À,, tandis que les degrés des
termes des fonctions ?, (VR), quand & grandit, deviennent de plus en plus élevés. Ces nouvelles fonctions s’expriment à l’aide des fonctions
Do (VR), P: (VR), Pa (VR), tie comme il suit:
RER (VER) . Do (& VE) «Do (a? VR), , = p (VR).0, (e VR).o, (« VER), 3) r, = 9 (VR). 9 (a VR).e, (@ VR),
@ ee eo + 0m ;e €, 9,8% © eo 6 0e 0:06 e + + ‘e ace à ee
v, = (VR).o,(« VER). (@ VR),
Lo (VAR) = 9 (VR), U(VR)= gi (VR).g (& VR).00 (@ VR), D | LO/R=a 0 Rat VR.n ER),
else, 6 :s ‘0.0 2:60 a e-0: #90 1%. ©. 6 01/6 21e se" 6:05
LL (VR)= 9, (VE). (@ VR)9,, (a VR).
Dans les formules qui déterminent les fonctions "45 Pis Vaste
. le radical disparaît évidemment et, par conséquent, ces fonctions sont des polynomes; tandis que dans les expressions des fonctions
Lo (VER), W (VER), L(VER),....
le radical VA reste, et par suite, ces fonctions seront de la même forme que les fonctions
po(VR), p (VER), Be (VR),...., c’est à dire de la forme | X+YVRR'4ZVROER,.
Mais ici tous les termes, comme nous allons le prouver, seront de degrés inférieurs à celui de À, À, et il en est de même à l’égard des fonctions Vo) Vi Va | LA Zn 2e | Ù
Pour s’en convaincre nous remarquons que, d’après le $ 8, tous les
. 3 : : . 3 termes de l’expression ® , (V R) et, par suite, les expressions P, (@ VR), 3 à 2 # « .
pi («? V R) elles-mêmes seront de degrés non supérieurs à celui de
no DT
et l'expression P, (VR), d’après le théorème du $ 9, sera de degré non su- Ri Ro
périeur à celui de ; d’où l’on voit que la fonction
V(VR)= 0e, (VR).e,,(& VR).®,,(& VR)
sera de degré ne dépassant celui de
Or, la suite
étant composée, d’après notre notation ($ 8), des nombres entiers croissants,
le nombre No y1 —N, ne Sera pas inférieur à 2: donc nous concluons, en
LA re 3 # LA Kid «
vertu du précédent, que la fonction (2 (V R) sera de degré non supérieur à 1 R, R; celui de +.
En examinant pareillement les expressions des fonctions 4, (a VR), (a? VR), pour lesquelles la formule précédente donne
La VR)=e, (a VR).6,,(@ VR).6,, (VER), 4 (a VR)=o,(@ VR).@,, (VR).p., (a VR),
nous concluons que ces fonctions seront de degrés ne dépassant celui de
x? s dx"?! R; PE R; Ro :
et, par suite, celui de R; Re x ?
car, d’après notre notation, ns %, SOnt des nombres entiers dont le pre-
mier est plus petit que le suivant.
Etant ainsi convaincu que toutes les trois expressions
4, (VR), 4, (e VR), 4, (@ VER)
BE; BR; ta
seront de degré non supérieur à celui de , nous en concluons qu’il en
sera de même par rapport à leurs termes.
En abordant l’examen du degré de la fonction v , nous remarquons
que, d’après le théorème du $ précédent, l’expression p, (VER) sera de degré
is , R,R h À non supérieur à celui de — =, et, d’après notre notation, tous les termes
des expressions
% (& VR), 9, (@ VR) sont de degré ne dépassant n,; donc, en vertu de la formule v, = 9 (VR).9, (a VR).9, (& VR),
la fonction v, ne peut être de degré supérieur à celui de
car,n,,,, 7 étant des nombres entiers et, >; la différence » ne peut être inférieure à 1.
TT
Après avoir déterminé ainsi la limite supérieure des degrés de nos nouvelles fonctions D D Pire
(VER), YVR), YUVR)..., nous allons maintenant donner les expressions des fonctions cherchées
Po (VER), Pi (VR), e(VR),. ……)
qui fournissent la solution de notre problème, à l’aide de ces fonctions plus simples et ensuite nous nous occupérons de la détermination de celles-ci.
D’après (4) nous avons l'égalité
