VAR

comme cela a lieu quand on tire ces équations de la formule (8).

Désignons par x, une racine quelconque de l’équation

Dans cette hypothèse, en posant x — x, et attribuant au radical VR celle de ses valeurs pour laquelle on à |

?., (VR)=0, nous trouvons d’après (4)

Ÿ, (aVR)= 0, ÿ, (& VR)=0.

Comme la fonction Po (VR), d’après (5), peut être présentée sous forme

Yo (VR).b(VR)... N'ES (VER).96 (VE)

Vo—2 pa: Vo 51 * Vo —0

pour préciser la valeur du radical avec laquelle ces équations doivent être vérifiées pour æ — x,, nous pouvons prendre à la place de l'équation

P,1 (VAR) = 0 celle-ci | Po (2) Vo (VR). ne Do o+1 (VE). 0 (VA) Fe

Vp—2Vo—3. .. 0p—6+1 *Vo—6

En remarquant que, d’après l'hypothèse, la fonction D, —=%, 5 (VR).p,. (ae VR).@,. (& VE)

ne s’annule pas pour æ—#%,, nous pouvons diviser cette équation par

Po—0 (VA) Vp—6

x = x, les deux égalités

et par cela, pour préciser la valeur du radical avec laquelle pour

ÿ (@VR)=0, ÿ, (# VR)=0,

enitiitiieente

ont lieu, nous obtenons l’équation ne contenant que les fonctions

. (VER), pee (VER), PRE . (VER),

par Vos se Vos:

En répétant le même raisonnement pour chaque racine de l’équation

du a 0,

nous déduirons relativement à la fonction 4, (VR) une suite d'équations dont le nombre sera en général deux fois plus grand que celui des racines de cette équation.

Nous ne trouvons pas nécessaire d’entrer dans de plus amples détails concernant les cas singuliers quand la formule (8) ne suffit pas pour calculer

la fonction ÿ, (VR) ou quand cette formule n’est pas applicable; car ces cas présentent peu d'intérêt sous le rapport théorique et ils ne se trouvent point dans les applications que nous avons en vue.

$ 14. En excluant les cas singuliers mentionnés dans le paragraphe précédent, nous avons, d’après les $$ 11 et 12, pour le calcul successif des fonctions CICR), CPR), DV R)...., no...

les formules suivantes LVR)=4, (GR). LGV R) L—(M4NVRRË+ PVRER) 0,

v = ne (VR).4, (a VR).4, (@ VR),

assujeties à la condition que les termes de la fonction (R (VR) soient de

degré inférieur à celui de À, À, et que cette fonction elle-même se réduit à

l'expression de degré ne dépassant celui de ne Les polynomes Z, M, N,

P y entrent comme inconnues auxiliaires et le premier est, d’après le $ 11,

de degré inférieur à celui de LAS

Quant aux fonctions primitives Yo (VAR), % elles se déterminent d’après le $ 10 comme il suit: do (VAR) = p (VR), Vo = Po (VA). 9 (a VR).p ( VR),

où (VR), d’après le $ 8, désigne la solution de notre problème pour la plus petite valeur de N pour laquelle l’expression

o VR=X+YVRRÈ+ZVRER

è x . . . nn Ds > 7 ue «

a des termes à radicaux. Si l'expression VA, À? est de degré inférieur à . Er gro an > 1! + 4

celui de V2? 2,, le degré de cette expression sera égal à la valeur de N

pour laquelle on obtient la fonction o,(VR) présentant la solution de notre problème, En remarquant que pour cette valeur de N, d’après les condi-

tions de notre problème, le terme Z VRÈR, ne peut figurer dans l’expression

E(VR)=X+YVRR +ZVRIR, et le polynome Y doit être une quantité constante qui peut être supposée égale à — 1 (car on peut diviser la fonction o,(VR), d’après le $ 8, par un facteur constant) nous trouvons que o,(VA) se réduira, dans le cas

considéré, à la forme Re X—VR, R?.

Mais afin que cette expression, conformement aux conditions dé notre problème, soit de degré le plus petit possible, il faut prendre pour X la fonction entière obtenue en extrayant la racine VA, R?, car c’est la seule fonction entière qui ne diffère de l’expression VR RS par des termes de degré positif ou nul. Ainsi, pour le calcul de la fonction o,(VR), dans le cas où le degré de VA, R? est inférieur à celui de VA, ,, nous obtenons la formule suivante Po (VA) A VER Rÿ,

où 7, désigne la fonction entière obtenue en extrayant la racine VR, RÉ.

Pareïllement, en désignant par 7, la fonction entière obtenue en extrayant la racine 2,2 R,, nous trouvons que lorsque le degré de VR'R, est inférieur à celui de V2, R, la fonction o(VR) aura pour valeur

Po (VER) ail Eee VR; R,.

En dernier lieu, si les degrés des expressions VR,RE et VRPR, sont égaux, le nombre AN, dans le calcul de la fonction o,(V R), sera égal à ce degré et pour cette valeur de N, conformement aux conditions de notre problème, la fonction o,(VR) sera donnée par la formule

Po(VR)=X+a VR ER? +6 VR? ls,

Lu CO

où æ,B sont des quantités constantes. Pour trouver les valeurs du polynome X et des constantes «, 5 qui figurent dans cette formule, nous remarquons qu’elle peut être présentée ainsi:

po (VR)= X+ ar, + Br, + a (YR, R,? — r) + $ (Re R, — r).

En réduisant cette expression de la fonction o,(VR), conformement aux conditions de notre problème, au plus petit degré possible, nous remarquons que pour l’abaisser jusqu’au degré négatif, il faut poser.

X+ ar, + fr, = 0,

et pour l’abaissement ultérieur il faut choisir ensuite les constantes «, B de façon que la puissance la plus élevée de x provenant des développements des différences

VR RS = #f) VR'R, rs

disparait dans l’expression de la fonction o, (VR) à l’aide de la formule

o (VR)— a (VAR, Br) +8 (VR? R,—r.) On voit qu’alors une des constantes &, f reste arbitraire; et par conséquent on peut la prendre égale à l’unité d’après le $ 8.

$ 15. Nous avons expliqué ($ 14), comment on peut déterminer les fonctions

Lo (VR), Vo

et calculer successivement les fonctions

4, (VR), W(VR), WVR),....,

DE M ae

Ces fonctions, d’après le $ 10, servent à exprimer les fonctions plus compliquées

Po (VAR), ei (VR), & (VR)....,

qui sont introduites ($ 7) afin de parvenir à leur aide à la solution de l'équation | ?(VR). (a VR).e (& V R)— CG

si cela st possible. Or la solution de cette équation détermine la fonction o(V R) qui, au moyen de la formule

[ DE dx = Klog [o(VR).@" (x VR) .p% (a? VR)]

donne toutes les intégrales de la forme

P PERS exprimables en termes finis.

Comme la solution cherchée de l’équation

o (VR).o (a VR).e (&@ VR) = C, doit, d’après le $ 7, se trouver dans la suite des fonctions Po (VR), Pi (VR), Po (VER), Fun

l’une d’elles doit nous donner la solution de l’équation, si celle-ci est pos-

sible, En désignant par eg, (VAR)

celle des fonctions de la suite qui donne la valeur de o(VR) satisfaisant à notre équation, nous voyons que cela suppose l'égalité

eo, (VR).e, (a VR).e, (& VR)=C, et comme, d’après notre notation ($ 10), le produit e, (VR).œ, (a VR).®,(& VE)

est égal à D la fonction v, doit se réduire à une constante. En vertu de cela il est facile à reconnaître dans la suite des fonctions

Vos Vis Vase

celle qui correspond à la fonction ®, ( V’R) fournissant la solution de notre équation: cette fonction 0, aura une valeur constante. Après avoir trouvé cette fonction dans la suite

PRE ER CCE nous trouvons, d’après (6), en posant 9 — |. l’expression suivante

Vo(VR). bi (VR)... bu: (VR). by (VA)

Lo: Vi: . Vu—1

pour la valeur de la fonction a ( VR) qui corresponde à v,; Ce Sera justement l’expression de la fonction o(VR) vérifiant l’équation

o(VR).o (a VR).® (&@ VR)=C

se GOT > et donnant, au moyen de la formule

[2 de = K log [o (VR).@* (a VR).g%° (a? VR)],

toutes les intégrales de la forme

exprimables en termes finis.

Nous avons vu ($ 2) que dans l’expression de cette intégrale les fac-

teurs rationnels de la fonction o (V2) disparaissent et, par suite, dans l’évaluation de cette intégrale, on peut prendre à la place de l’expression pré-

cédente de la fonction o(VA) celle qui suit: