IV-éme Théorème

ee (re) —] 2),

pour & — oc, à pour limite une quantité finie ou infinie, la HAS f(x) ne peut représenter @(x) exactement en quantités de lordre x PE = inclusivement.

Quand l'expression

Démonstration. Soit Z la limite vers laquelle converge l’expression

ee (en —[#)

à mesure que æ s'approche de l'infini. Comme Z, par hypothèse, est différente de zéro, elle ne pourra être égale qu’à une quantité positive ou négative.

Supposons la positive; notre raisonnement s’appliquera sans difficulté au cas de ZL < 0.

Si la limite Z de l’expression que nous considérons, pour æ — co, est supérieure à Zéro, nous pourrons trouver un nombre N assez grand et tel que, pour æ > N, la valeur de l'expression

me (ro | je.)

reste constamment supérieure à une certaine quantité positive L.

Nous aurons donc pour æ > N

og" x æ \ (5) e (re) —[#)> 7

Se ; pe

; Re : ( 1 Mais, en vertu du théorème IT, quelque petit que soit «= +, nous aurons pour un nombre infini de valeurs de x l'inégalité

(6) p (x) <[ + log æ + æ?

qui donne

perf ré < F9 0 +

= —; On trouve

en la multipliant pa F

log" x T

ee of ré | <2EE( re 00] +

ou bien, en vertu de l’négalité (5),

LEE f(x) — po] > +.

Or, cette inégalité ayant lieu en même temps que celles marquées par les numéros (5) et (6) pour une infinité de valeurs de x prouve, à cause de

: > 0, que la limite de LEE [f(a) — & @)],

pour æ = co, ne peut pas être égale à zéro. Si donc cette limite est différente de zéro, la différence f(x) — 9 @) d’après la convention établie plus

haut, est une quantité de l'ordre x = où d’un ordre inférieur; par consé-

quent f(x) diffère de (x) d’une D: de l’ordre Te ou bien d’un ordre inférieur, ce qu’il s'agissait de démontrer.

En nous basant sur ce théorême, nous pouvons faire voir que la formule Ha log æ — 1,0836

log? æ æ LE dx æ log x — 1,08366 log æ }?

quand æ — co, est égale à 0,08366, ne peut tn p (x) avec un degré

de Legendre

g» Pour laquelle la limite de l'expression

de précision allant jusqu'aux quantités de l'ordre Lez inclusivement.

On trouve avec la même facilité les valeurs des constantes À et B telles