FT

De cette manière on détermine g, l’indice du premier des coefficients ki, k, ke, différent de zéro et égal à un. Tous les coefficients suivants

g+1? g+2°°°° kg —2;

s’annulent, comme il est facile de s’en convaincre.

En effet, d’après ce que nous avons dit sur la détermination des coef- | ficients de la série

k, 1 5) + k, D + ... + 9,0 D 471 + kg—1 D,+ es

les coefficients

dans le cas où

k, =0; hs 0;..;: k,, —=0, k,= 1,

sont égaux aux quotients de la division de la différence L(M,) — D,"

par DER du premier reste par D du second reste par D,9+9 et

ainsi de suite.

Les quotients de toutes ces divisions sont zéros, car la différence

Ÿ (M) de DE, d’après (17) est inférieure à

Bee; -g-1) D,— D”,

ce qui se réduit, en y introduisant la valeur de D,"® donnéc par la formule (16), à D, qui, d’après (16), est inférieure à tous les diviseurs

À at 2 x FHÉRPRCE 3 ge * Il en résulte que la série ! 72 (4 —1) k, D, + k, D, +... .+kg,-2D, 1 + lg, 1 D, +... ne contient aucun des termes ! " (qg —1) k, D, k D, Fe ka, —2 D, 1

ou n’en contient qu’un seul dont le coefficient sera égal à 1. Le premier cas a lieu quand

(M) < D, + D,; le second cas quand (M) 2 D, + D,,

et dans le dernier cas un tel terme est k, DIR A DA, «, étant le quotient de la division de la différence (M) — (D, + D,)

par D),. Par cette raison la somme des termes de cette série jusqu’au terme ka, —1 D, se réduit à zéro ou à D,1717 9° et par conséquent se représente

en général par l’expression 121 (Q1—%1—1) a D,

avec un des deux signes +, Le signe supérieur avec lequel cette expression

se réduit à Q—%y—1 D, à L ,)

a lieu sous la condition L(M)> D, ke ne

le signe inférieur avec lequel l'expression devient nulle a lieu quand UM) LD, #1,

Ainsi notre série se réduit à la suivante

ee t (41 —%1 —1) # MR + kg, —1 D, + ka, Ds +....,

et le coefficient 4, -1 d’après le $ IV est égal au quotient de la division de 141 Us (D (M) SR re fe D: en par D,. En désignant ce quotient par «, nous aurons Ka et ne à En passant à la détermination des coefficients postérieurs

kg, PER PRE" remarquons qu'on les trouvera de la même manière que les précédents

k,, k., ke ses ku—2;

et que tous les termes de la forme

se réduisent à -

en y conservant le signe inférieur ou supérieur selon que la différence

LL SRE V) == A #4 Da D,

soit inférieure à D,+ D, ou non, le nombre «, étant le quotient de la division de

PO) — SR DA & D, — (D, + D) par D,. ;