EX 1 DAT 2H

SR j ï ES PE aurait la valeur supérieure à 4 (M), si on prenait le facteur —— égal à

. un; car avec cette valeur du facteur —— ce terme se réduirait à

DH Lo} — 1) 21 +1 ?

, mais d’après (21)

ce qui, d’après (16), n’est pas inférieur à D,,,,+D,,,, la somme “ce D, + a D,+... RUE eD, + D.., surpassera d (M).

Donc les valeurs des nombres.

et des facteurs de la forme

dans la série (18) sont déterminées par la condition que cette série arrêtée à un terme quelconque donne la valeur la plus grande possible ne surpassant pas V (M).

Il n’est pas difficile de démontrer que dans cette série le coefficient «,, du terme

Le D 2i v’est pas supérieur à/q,, — 1, si le terme précédent

Lis Dai A1 — 1)

AN Ce CS

est différent de zèro; dans le cas contraire le coefficient «&,, ne surpasse

pas q,;.

En effet, le coefficient «,,, comme nous avons vu, résulte de la division de la différence

L(M)— = — DATA 4 D. — = a pr rar D) - 21—1

par D... Or cette différence, d’après (21), est inférieure à

si son dernier terme disparait, et d’après (20) est inférieure à

si ce terme ne disparait pas. Par conséquent dans le premier cas

Dai + Doi mere Dai 7

et dans le second

Mais en remplaçant d’après (14) D,,, par D.,,, +q,, D,, on obtient

a. < D541 + Qoi Doi + Doi 2i D ,

Divx + Qoi Doi, Di Le :

Le d’où Doi d <a r1+ “D:

Dis ns Lui + D:

= 4 de Midisiliditale it. 4

Or, D

+ étant moindre que D,,, on à

Di # LE par conséquent pour les valeurs entiers de &,,, 4,, la première inégalité ne peut subsister que quand le nombre &,, ne surpasse pas q,,+ 1; mais la seconde inégalité exige que «,, ne soit pas supérieur à q,,. En déterminant les termes de la série

ko do (mn) + k Lo (n,) + ko D (me) +. ...,

conformément aux $$ IIT et V, on trouve que cette série se réduit à la

1ÆT (49—Ba—1) BD,+—- D 04 6, D,+....,

les nombres 6,, B,, B,,.... étant entiers et positifs. Après avoir répété les mêmes raisonnements que nous avons faits par rapport à la série (18), nous arriverons aux conclusions suivantes: 1) on détermine les nombres 6,,6,,6,,..…

141 Fe ; et les facteurs —— de manière que la somme de cette série arrêtée a un

terme quelconque ait la plus grande valeur possible ne surpassant pas o (N,);

2) le coefficient 6,,,, du terme $ D,;,, ne surpasse pas q,,,, + 1, Si le terme précédent = piai-fai—1) disparait; dans le cas contraire ce

coefficient ne surpasse pas g,,,,; 3) la somme de cette série arrêtée au terme 8,,,, D,,,, a la valeur ne surpassant pas o(N,) et ne différant de o(N,) que d’une valeur moindre que D, mais en s’arrêtant au terme

1 = 1 DIX ha 2} différant que d’une valeur moindre que D,, + D

21+1 terme disparait ou non.

D on obtient une valeur ne surpassant pas œ(N,) et n’en

ou JL), suivant que ce

& VII

Après avoir indiqué le calcul des séries

ko Po (to) + E Po (4) + Ke Po (Na) +. ..., ko Do (Mo) + Do (m,) + K, d(m,) + ....,

nous passons à leur emploi pour déterminer, d’après les formules du $ IV, le premier terme des séries

YO), LOL), YO).

et (No), o(N,), (N.),....,

ne surpassant pas la limite donnée e. Nous avons vu ($ IV) qu’un tel terme (M) et le nombre correspondant M se déterminent au moyen des formules

DM) = d (Mo) — ko Do (no) — À Po) —. . : . — y, ,— 1% Qu),

M= M + ho + +. “ .+(&,,—1 LATE

où k,, Po (nv, )

est le premier terme, auquel doit être arrêtée la série

ko Po (no) + K, Do (ns) + Ko Po (Ne) +...

pour fournir la valeur 4 (4) à e près, et Z le plus grand des nombres 0,1,2,3,....k, ,—1, avec lequel l’expression ko Po (0) + ki Bof) +... Era D (rs, )

a la valeur d(M,) à « près. En calculant cette série nous avons obtenu ($ V) la formule

À ee | — — Sir

où d’après notre notation ($ V)

DT — Po (QATATD),

D, — Po (Q), DE Re QT

Il en résulte que les expressions des quantités 4 (M) et M prennent la forme