V-éme Théorème

Si la fonction @(x) qui désigne combien à y a de nombres premiers

inférieurs à x, peut être représentée algébriquement avec une précision Lé e + HH . L .

poussée aux quantités de l’ordre oz inclusivement au moyen des fonctions æ, log x, e”, alors elle s’exprimera par la formule æ 1.x 1.2.x 1.2.3...(n—1)x

logæ t jogx * logsæ * : LE log" æ

Démonstration. Soit f(x) la fonction qui, contenant sous forme algébrique +, logæ, e”, exprime o(x) exactement jusqu'aux quantités de l’ordre

HA ° LS Ju , .

er inclusivement; l'expression

log" æ [F6 — œ 1.æ 1.2.æ — fn ne] æ log x log? æ logÿ æ er log" æ

pour des valeurs croissantes de x, devra converger soit vers zéro, soit vers une limite finie ou infiniment grande. En effet, s’il n’en était pas ainsi, la première dérivée de cette expression changerait de signe une infinité de fois pour des valeurs de x croissantes jusqu’à + co, ce qui ne peut arriver, Comme il est facile de s’en assurer, avec une fonction algébrique de x, log x, e” *).

Ainsi, on aura nécessairement pour f(x)

(7) lim. { EE (f(2) — æ 1 1.2% — = L.

logæ logx logæ ‘‘’ log" x

*) Il est très facile de s’assurer qu’une fonction algébrique de æ, log æ, eŸ cesse de changer de signe pour une valeur de x surpassant une certaine limite. Si la fonction dont il s’agit est entière, alors son signe dépendra d’un terme de la forme Kx”. log" æ.eM"/"%, pour des valeurs de æ plus ou moins considérables, ce terme ne changeant pas de signe pour æ > 1. Pour toute autre fonction algébrique de x, log x, e®, que nous représenterons par y, on démontrera la même proposition de la manière suivante: observons d’abord que la fonction y sera la racine de l’équation YU YU Ye 1 Y Um = 0, Moy Us Use» Um —15 Um étant des fonctions entières de x, log x, eŸ; si l’on représente par v la fonction qui résulte de l'élimination de y entre l'équation précédente et sa dérivée, alors les fonctions w,, 4 et v, comme entières, finiront par ne plus se réduire à zéro ou à changer de signe pour des valeurs de æ surpassant une certaine limite; il arrivera donc que y conservera également son signe, car, pour des valeurs de x qui ne réduisent pas v à zéro, l'équation u, y", M1 +... + Up 1 Y + Um— 0 ne peut avoir de racines égales, et quand les racines sont inégales, le signe de l’une d’elles ne peut changer qu’en supposant que le signe de w, ouum, change. — Cette propriété peut être étendue à beaucoup d’autres fonctions, pour lesquelles, par cette raison, le théorème V ainsi que les conséquences qui s’en déduisent, auront également lieu.

sé

Mais, d’un autre côté, il est facile de s’assurer que

FA ‘ log" x æ 1.æ Lx 1.2.. (n—1)x dx ir.

lim. | æ nie Lun log" x log x —0; 2 æ—00

cette équation ajoutée à la précédente donne

lim. E : (r (&) — -[ =) | = L.

Or, comme par hypothèse f(x) représente p(x) exactement jusqu'aux

quantités de l’ordre are inclusivement, et que d’après le théorême IV cela

ne peut avoir lieu, si la limite de

SE )

pour æ— co, n’est pas zéro, on aura L — 0; cela posé, l’équation (7), pour L = 0, se réduit à

log" x x 1.æ 1.2.> mue || 4 4 lim. | x LA) EE — ne — je —— log" x J ie"

ce qui prouve que la fonction

æ 1.æ 1.2 A 12.8...(m— 1x log æ log? x " logë x re log" x ne différe pas de f(x) de quantités de l’ordre ==; et d'ordres inférieurs, et

que par conséquent elle peut, aussi bien que f " représenter œ(x) avec une précision poussée jusqu'aux quantités de l'ordre = un = inclusivement, ce qu’il s'agissait de démontrer.

D’aprês le théoréme que nous venons d'établir, nous concluons que si la fonction ® (x), qui représente combien il y a de nombres premiers inférieurs à æ, peut être ee algébriquement au moyen de #, logæ, e* jusqu'aux

æ æ ee æ? log? x? log

quantités des ordres =»... inclusivement, elle devra s’ex-

primer par œ æ el 1.æ æ Ke 1.æ 1:22 log æ? log x log*x? logæ log? x log3 x?° ‘ ?

De plus, comme ces sommes ne sont autre chose que les valeurs successives de

æ # Re x? log? x? log x?

l’integrale oussées aux quantités des ordres g (og æ P q

AE | ee nous sommes en droit de conclure que dans toutes ces hypothèses l’intégrale

I E exprimera @ (x) avec exactitude jusqu'aux quantités de l’ordre pour

lequel elle peut encore s’exprimer algébriquement au moyen de x, log x, e*. Il est facile de se convaincre par les tables des nombres premiers que