LE

(Qoi 1 — oi 1 —1) 2 ie + Pr:

Or, d’après ce que nous avons démontré au $ VI sur les coefficients ) .

de la série 1+1 ee:

({3—%3—1) 5 2 Ne

DAME a D, + —

1Æ1 y(Qoi-1—i1—1) 3 se Li pi a Hi. .;

on voit que dans l’expression de x la somme des coefficients de Q.(417%171) q P 1

et Q, ne surpasse pas q + 1, la somme des coefficients de @,(37*%37" et

Q, ne surpasse pas q, + 1,..., la somme des coefficients de Qi ii) 25— 1

et Q,, ne surpasse pas g,,+ 1. Mais d’après les formules (13) on trouve que

QE MI OL, QT Qu

gra < Fe

2i—1 Par conséquent la valeur de x obtenue ci-dessus ne peut pas De la somme +1) ++ Q.+....+(q,+1) QE Les nombres 4%, Ga,...., Q,; n'étant pas inférieurs à un, cette somme ne

doit pas surpasser 29 D +24 Qi... +29; Qi) donc DL 2 (Qu Q ++... + Qi)

Or d’après les formules (13) on obtient Qs = Q d + Q=Qu ro,

Quisr 7 Qi Qi 4e Qi 43*

L’élimination de @,, @,,... : i nous donne Qrsa = Vada + Qd te. «+ Qi Qi + Qc Par conséquent, Q, étant égal à un ($ Il), on aura Qi > Qade + Qi tes + Quid Donc l'inégalité obtenue pour + nous donne m<2Q,,,,.

Mais d’après la propriété des réduites

Po F, Poi Pit

Qo? Q:1°° “a * Qui? Qui" Pie

obtenues ($ II) par le développement de a en fraction continue, la différence 2 : a@, = D;

- L Li « 1 est, comme on sait, inférieure à -——, donc Q2i+1

Qi < D, 5’ par conséquent l'inégalité obtenue nous donne HA Ée Fr ,

ce qu’il fallait démontrer.

D’après l’inégalité qu’on vient d’obtenir

x << Fr ,

où D 2i > s,

et € étant le degré d’approximation avec lequel la différence y — ax

représente b, on voit que pour les valeurs x, y déterminées par les formules (22) la différence

y — ax

en restant inférieure à b, représente d à

près. Mais en remarquant qu’on obtient ces systèmes de valeurs de x et y chaque fois qu’on arrête la série

à un des termes & D, , LS 5; POS

en posant / = 0, nous concluons qu’il y aura une infinité de tels systèmes, si l’on prolonge la série indéfiniment. Or cette série peut évidemment se terminer dans un des deux cas: ou les quantités

4 / (QG —1 !