DD DD D

déterminées par le développement de a en fraction continue se présentent en nombre fini, ou bien les coefficients de la série

1Æ1 7) (g—@1—1) 11 » (g3—a3—1) —— D," ED D, +...

2 Le

à partir d’un terme quelconque, deviennent nuls. Le premier cas, d’après le $ V, a lieu si la fraction continue provenant du développement de la quantité a se termine, c’est à dire, si & est commensurable. Dans le second cas, d’après le $ VI, la série

prolongée jusqu'aux termes devenant nuls, donne la valeur

ÿ (1) au dernier des quantités Di He .…

près. Par conséquent cette série donne tout à fait exactement la valeur

Y(A,), si la fraction continue provenant du développement de a est infinie,

les quantités + 2 No à 0e à TRS

ayant pour limite zéro. En déterminant, d’après les formules du $ VII, les valeurs de æ, y correspondant à cette quantité 4 (AZ;) nous trouverons un système des valeurs #, y pour lesquelles la différence y— ax représente b tout à fait exactement.

Il n’est pas difficile de démontrer que dans ce dernier cas, pour a incommensurable, on trouvera une infinité de valeurs x, y pour lesquelles la différence

y — AX,

Là L4 “ LA « 2 « en restant inférieure à b, représente d à — près. En effet, soit Cd, Y—=Y

un système des valeurs x, y pour lesquelles la différence y—ax est exactement égale à b. Dans la série des réduites de la quantité a

nr 10: Pay Porn Qo? Qi’ @? 7° Qù? Qoei” :

pour a incommensurable, on trouve une infinité de fractions avec le dénominateur supérieur à æ, et ayant une valeur moindre que a. Une de telles fractions étant

il est facile de voir qu’en posant

T—= 4 +0Q,,,, y=h+Pjs

on obtiendra les valeurs x, y pour lesquelles la différence y — AZ,

. . « , « 2 « 4 en restant inférieure à b, représente b à + près. Pour le démontrer remarquons que l’expression

y — ax — b, pour les valeurs indiquées x, y, se réduit à

KM b + FE as aQ

UE ep

est, d’après la supposition, égale à b et d’après la propriété des réduites la différence

É s1 7 aQ jun

- # La 4 . \ e 1 # est inférieure à zéro et en diffère moins que D Il en résulte que pour 2A-4+-1

les valeurs considérées de x, y la différence y — ax, restant inférieure à b, 1 é ; QE

près et par conséquent à — près, car pour 7 = 4%, + Q Qi æ

donne b à ae et Q,,, > ona

É Qi

zx .

Nous voyons que dans tous les cas, pour a incommensurable, on trouve une infinité de valeurs x, y pour lesquelles la différence y — ax, en restant

. * LEMg \ « 2 « Y . La A ss inférieure à b, donne b à — près. En considérant de la même manière les

valeurs de +, y pour lesquelles la différence y— ax est supérieure à b, on arrive au même résultat. On peut donc énoncer le théorème suivant:

Théorème,

Si a est une quantité incommensurable, on peut trouver une infinité de nombres entiers x, y pour lesquelles l'expression y — ax différera d’une quan-

2 : 2 tité donnée db par une valeur moindre que 5; pour les unes de ces valeurs on aura y— ax > b, pour les autres y—ax < b.

En nous bornant au cas y — ax < b et posant

dat bn à nous aurons

ax + b = y + à.

D’après cette formule les termes de la progression arithmétique b, b+ a, b+-2a,....

s’expriment par une somme d’un nombre entier y et d’une quantité d désignant la différence entre y — ax et b. Mais d’après ce que nous avons démontré, 1l existe pour & incommensurable une infinité de valeurs de #, y