AE: : LM

pour lesquelles la différence d — b — (y — ax) est supérieure à zéro et inférieure à À. Donc pour un tel a la progression arithmétique

contient une infinité de termes dont la valeur ax-1-b est égale à un nombre 1e . : 2 ASE , s .

entier y avec une fraction moindre que =. Il en résulte le théorème suivant:

Théorème.

Si la différence d'une progression arithmétique est un nombre incommensurable, la progression contient une infinité de termes dont la partie fractionnaire est moindre que 2 divisé par le nombre des termes précédents.

En terminant ce mémoire nous ferons voir qu’on peut trouver une infinité de nombres entiers x, y pour lesquels la différence

À (lc + my +0) — À, (x + my + n,Ÿ

reste comprise entre zéro et 4 (/m,—l,m) V AA,, le nombre AA, n'étant pas un carré parfait et {m,—l,m étant différent de zéro. L'expression

À (x + my + n) — À, (x + my + nn.) étant décomposée en facteurs linéaires prend la forme

S— ax —) y— 0 2— f;),

S=n? A—mA,,

___ lim, 4, — ImA Lim — Im der ee TO OmA—m}A mA—m/A, VAA,

___LmiA, — mA Lim — Im rer 1 mA—m A mA—m? À, VAAi;

8 ___ NM 4, —nmA nan — NM VAT

7 m?A—m;?4, m?A — m,24; 8 ___ Mid —nmA NAN — NM VAT 1 mA—m;?4, m2A — m2A; 1°

Puisque d’après la supposition AA, n’est pas un carré parfait et lm—lm, est différent de zéro, la quantité « est incommensurable et dans ce cas, comme nous avons vu, on peut trouver une infinité de nombres entiers +, 7 pour lesquels la différence

(y — ax) —

£ 2 est contenue entre zéro et — et pour lesquels, par conséquent, aura lieu l’équation

ee à y— ax —$— 7

le nombre @ étant positif et inférieur à un.

En portant de là la valeur de y dans l’expression

S (y — ax — 6) (y —ax —B,),

on la réduit à celle-ci

PS f(a—a)z+8—B+T),

ce qui, d’après les valeurs de $, «, «,, 6, B,, prend la forme

(23) 40 Gm— im) VA, {1+ mm MA mA D)

lm—Ilm, x (um — 1m) VA A: g?

En nous fondant sur cette expression de la différence oi A (x + my + nŸ — À, (x + my + n.)

pour les valeurs x, y déterminées de la manière indiquée, nous allons démontrer que parmi ces valeurs il en existe une infinité pour lesquelles la différence considérée est contenue entre O et 4 (4m, —l,m) V AA, et cela a toujours lieu quand x surpasse la valeur += x, pour laquelle Les expressions

nm nm L m?A— mA, 1 lm—-lm ©? (m—m,) VAA, 2?

sont contenues entre les limites

et les expressions

4(n,ym— nm.) es , 4(mA—m°À,) =

entre les limites — 4 (fm — Im.) VAA, — Ea (lm—im,) V AA, }; +7 {E4 (im — Im.) V AA, + 1 — 4 (lim — Im,) V AA, }:

En effet, puisque ces expressions s’approchent de zéro en même temps

que x augmente, elles seront contenues entre les mêmes limites pour z2>%,; la même chose aura lieu après la multiplication par © < 1.

Il en résulte que pour x > x, la somme

NN — AM lim — Im,

mA— mA, 0

T (im—Im)VAA, ??

sera contenue entre les limites — 1, + oc, et la somme VAA 0 4 (nm — nm) = + 4 (n°4 — m4) =

entre les limites

ee 4 (lim — im.) V AA, — E4 (l,m— im.) VA4, À + {Ba QGm— 1m) VAA, +1 — 4m —m) VA}.

Le premier système d’inégalités nous indique que dans la formule (23) le facteur de

4 (lm—lm.,) V AA,

est positif; nous allons maintenant démontrer que le second système indique que ce facteur n’est ni égal à un, ni supérieur à un, et par conséquent l’ex-

pression (23) est vraiment contenue entre O et 4 ({,m—m,) V AA.

Remarquons pour cela que ce facteur peut être mis sous la forme

ln en où __"m—nm 0 m?A—m;24, 6?

OO hm—im à (um —Im)V AA, æ2°

Puisque le terme — (1 — 9) est négatif, le facteur considéré 1—(1 à + T ne peut être égal à 1 ou surpasser 1 que dans le cas où T>1—6; et dans ce cas après la réduction des deux derniers termes la quantité

Or cette expression du facteur considéré est impossible. En effet, d’après (23) la différence

A(lx + m,y+n) — À, (1x + m,y+n,), aurait la valeur 4 (sm — m,) VAA, (1+ 0, T),

ou après l'introduction de T

4 (Zum —1m,) V AA, + 0,0 [4 (n,m — nm.) E Ps he 1h 6]

Mais comme 4,9 > 0 et < 1, et, d’après ce que nous avons remarqué, l'expression

LEE (mA — m,°4,)

A(nym — nm) —

est contenue entre les limites —{4(4m—1m,) VAA, — E4 (4m — im) VA, } 4 E4 Gm — 1m) VAA, + 1 — 4 (4m—1m,) VAA, h la valeur de la différence considérée serait contenue entre

Ea Gm—m,) VAA, et Eu Gm—1m,) V AA, +1,

ce qui est impossible; car entre ces deux nombres entiers il n’existe aucun nombre entier et la différence considérée est un nombre entier.

Il en résulte que, si dans le système des valeurs x, y déterminées de la manière indiquée. la quantité x surpasse x%,, la différence

À (x + my + n) — À, (x + my +1.)

pour ce système des valeurs sera contenue entre O et 4 (4m—1m;) V.A4;; il existe une infinité de tels systèmes, comme nous avons vu, si 44, n’est pas un carré parfait et si la différence l;m»—{m, est différente de zéro.

De la même manière en déterminant les valeurs +, y, pour lesquelles are * Re Done la différence y—«x, en restant inférieure à $, donne 8 à + Près, nous

obtiendrons une infinité de valeurs entières x, y pour lesquelles la différence A (x + my + n) — À, (x + my+n)

est contenue entre les limites 0 et —4 (Z;m—m,) V AA,.