CRE HN ETS SEE

Fe 2 2 2 2 4 — Pt; + Po Lo + Pa Ts +... + DL),

(2) | b=QU +R QU + FLOU

mars 2 2 2 . 2 Cr HR ETS EST

Diet 6 26e ne. IR lee el SESSION TE TAN A TR RIES .

Or, comme les hypothèses que nous venons de faire sur les quantités æ, y, #,.... sont les seules possibles, leurs probabilités satisferont aux équations suivantes:

Dr ++... FD, =S À, (3) JA +de Im = À Vito Hg to ln =,

Il nous sera facile de trouver, à l’aide des équations (1), (2) et (3), à quoi se réduit la somme de toutes les valeurs de l'expression

+9, +8,+...—0a—b—c—....)"piqurur..

si l’on y fait successivement

pere

En effet, cette expression étant développée nous donne

EN RTE EEE an 2 PETER ant 2 PP l'en + 2P Ts. LU, + 2 Pulse, +2 PT Ye, He...

—2(a+b+c+....)p,g,r,....x,—2(a+b+c+....)p;a,r,....7, — —2(a+b+c+....)p,g,7r,....2—....+(a+b+c+...)pgir,..….

En donnant, dans cette expression, à À toutes les valeurs depuis À = 1 jusqu’à À —/, et en sommant les résultats de ces substitutions, nous obte-

nons la somme que voici:

2 2 2 2 QT y ee (PM + Da De) + DT +... + DL)

(D, + DH Ds +. +2.) q Ve (Pi + Ps + D HD) re Re

a VU Len ni 2 de mi 0e nets à +2 (Pi Dag Da tee D 0) QT peu 2 (DL Palo + Das +00) ul yee8s

HD HP Pate HD) ls... Yn 8, M dia —2(a+b+c+....)(p mn + Pts + Pila +... Hp), De be he JP RP EM HET AE

—2(a+0+c+....)(9, + +2 +....+7, use...

el eue tree ren rene 6 ele er ei are ee ip er 0% ,6- 70" db 0.0 0 © © 6.6, à 0.0 € 0 + e

Si, en vertu des équations (1), (2) et (3), nous mettons à la place des sommes Pit Pa Te PB oc DT, Pi DH Pa Le + Pas Ho HDi Pi EP EP tr... EP

leurs valeurs a, a, et 1, nous obtiendrons la formule que voici:

2 2 Bye FQulyceee Yy lys Hesse =

+2aq,r,.... Ya + 20e. 2, +... + 2q7,.... Ynéy Here —2(a+b+c+....)agr,....—2(a+b+c+....)gr,....7, —

—2(a+b+c+....)ar,..…. à

et ne ue RE Es DEN CLAOLOE

— (690 — Donnons dans cette formule à pe les valeurs st, 2,2,.5:, 0,

puis sommons les expressions qui résultent de ces substitutions, et remplaçons les sommes di Ya TH Yo ge. TE Gun Um?

NU -F a Ya QG Ys 2. Hg UE hr +r. ue +)

par leurs valeurs b, b, et 1 tirées des équations (1), (2) et (3), nous obtiendrons l’expression suivante:

TE ARR D RE A LE UOTE Me me Dee À NOTE 7 À PU UE eue OPUS A CS — 204 6+ LPO MP CRE.

tee ns 2 2(0+b+c+...)r, 8. F(G+bre+... Jr...

En traitant de la même manière v,.... nous verrons que la somme de toutes les valeurs de l’expression

RE RD Gr PR Rs, qu’on obtient en faisant À, 258... pes 452,8, NS D'SRN Re

sera égale à +, +C +...

+2 ab+2ac+2bc+....

— 2 (a+-b+-c+ …..)a—2 (abc...) — 2 (a+-b+c+ ...)c—

+(a+b+c+....Ÿ, Cette expression étant développée se réduit à Œ+b+c+....— 0 —1b—c@—....

D'où nous concluons que la somme des valeurs de l’expression

(t)+Yy+e +... .—a—b—c—....YŸ hi D D

qu’on obtient en faisant

= 1,2,8,.t5 ue, 2 2m mel, 2, RS

sera égale à De Or, il est évident qu’en rejetant de cette somme tous les termes dans lesquels le facteur

@\+Yu ++... —a—b—c—....?

(a +b+e +... —a—b?—c—...,) est inférieur à 1, et en le remplaçant par l’unité partout où il est plus grand que 1, nous diminuons cette somme, et elle sera moindre que

Mais cette somme, ainsi réduite, ne sera formée que des produits

PieQueTyree qui correspondent aux valeurs de +,, Yu psc ++ POUr lesquels l’expression (a) + Yu +8 +... —a—b—c—....} 1

À LÉ ORS E r M te LÉ À ur. cu Ve ?

et elle représentera évidemment la probabilité que x, y, z,.... ont des valeurs qui satisfont à la condition

(x+y+iz+... —a—b—c—....}

(4) HR PR T oui) 1.

Cette même probabilité peut être remplacée par la différence 1— P,

si nous désignons par P la probabilité que les valeurs des x, y, 4.... ne satisfont pas à la condition (4), ou bien, ce qui est la même chose, que ces quantités ont des valeurs pour lesquelles le rapport

n’est pas > 1; et par conséquent, que la somme

reste comprise entre les limites

a+b+c+....+aVa+b+c+....—@—br—@—....,

aHb+c+....—aVa+b,+c+....—@—pP—a—.,,.,

D'où il est évident que la probabilité P devra satisfaire à l'inégalité

qui nous donne

ce qu'il s’agissait de prouver.

Soit N le nombre de quantités x, y, z,....; si l’on pose dans le théorème qu’on vient de démontrer —VN

et que l’on divise par N la somme