LH+-Y+I

et ses limites

a+b+c+....+aVa+b+c+r....—@—b@—c—....,

a+b+c+...,—aVa+b+c+....—@—b—c@—....,

on obtient le théorème suivant concernant les valeurs moyennes.

Théorème, Si les espérances mathématiques des quantités EUR PTE ot nf MATE

sont respectivement a, b, Cp. @:, ds Cipso

la probabilité que la différence entre la moyenne arithmétique des N quantités %, Y, &,.... et la moyenne arithmétique des espérances mathématiques de ces quantités ne surpassera pas

EE a? + D? + c2+. ...

sera toujours plus grande que

t2 1 — 7" quel que soi t.

Comme les fractions Cn+bh+a+....

expriment les moyennes des quantités

CNE ee PP

APE A PE PUE toutes les fois que les espérances mathématiques

a, b, Cycoee

EN OEE

ne dépasseront pas une certaine limite finie, l’expression

aura aussi une valeur finie, quelque grand que soit le nombre N, et par conséquent il dépend de nous de rendre la valeur de

1 A +b+c+.... a+ b?+ ct +...

aussi petite que l’on voudra, en attribuant à £ une valeur suffisamment grande. Or, comme, quel que soit é, l'accroissement du nombre N jusqu’à

. o . 2 “ 2 l'infini rend nulle la fraction D nous concluons, en vertu du théorème précédent:

Théorème,

Si les espérances mathématiques des quantités

FE Le, U,, ..

et de leurs carrés de 2 2 U, ? U, 2 L, 2 ...

ne dépassent pas une limite finie quelconque, la probabilité que la différence entre la moyenne arithmétique d'un nombre N de ces quantités et la moyenne arithmétique de leurs espérances mathématiques sera moindre qu'une quantité donnée, se réduit à l’unité, quand N devient infini.

Dans l’hypothèse particulière que les quantités

se réduiront à l’unité ou à zéro, selon qu’un événement E a ou n’a pas lieu dans la 1°, 2°, 3°,.:.. N°" épreuve, nous remarquerons que la somme

U,+U,+U,+....+ Ur

donnera le nombre de répétition de l'événement E en N épreuves, et la

moyenne arithmétique

U, + U, + Us +... .+ Ur N

représentera le rapport du nombre de répétition de l'événement E au nombre des épreuves. Pour appliquer à ce cas notre dernier théorème, désignons par

Pp'pRS R

les probabilités de l’événement E, dans la 1", 2°, 3°,.... N°" épreuve; les espérances mathématiques des quantités

4 SDÈCE 5 RE 2 APR RRRNE à à et de leurs carrés CRC UE EUR

s’exprimeront, d’après notre notation, par

D'où l’on voit que ces espérances mathématiques sont "a PF. Fes . . .

et que la moyenne arithmétique des N premières espérances est

P,+P, + P;+....+Px N ?

c’est-à-dire la moyenne arithmétique des probabilités 2,, P,, P,,.... Py.

Par suite de cela, et en vertu du théorème précédent, nous arrivons à la conclusion suivante: |

Lorsque le nombre des épreuves devient infini, on obtient une probabilité, aussi rapprochée que l’on veut de l'unité, que la difjérence entre la moyenne arithmétique. des probabilités de cet événement, pendant ces épreuves, et le rapport du nombre des répétitions de cet événement au nombre total des épreuves, est moindre que toute quantité donnée.

Dans le cas particulier où la probabilité de l’événement reste la même pendant toutes les épreuves, nous avons le théorème de Bernoulli.