ANNÉES

Lettre de M. le professeur Techébychev à

M. Fuss, sur un nouveau théorème relatif aux

nombres premiers contenus dans les formes An +1 et 4n +8.

11 (23) mars 1853.

(Bull. phys.-mathém., T. XI, p. 208).

La bienveillance, avec laquelle vous avez toujours agréé mes recherches, m'engage à vous présenter un nouveau résultat relatif aux nombres premiers et que je viens de trouver. En cherchant l’expression limitative des fonctions qui déterminent la totalité des nombres premiers de la forme An + 1 et de ceux de la forme 4n + 3, pris au-dessous d’une limite très grande, je suis parvenu à reconnaître que ces deux fonctions diffèrent notablement entre elles par leurs seconds termes, dont la valeur, pour les nombres 4n + 3, est plus grande que celle pour les nombres 4n + 1; ainsi, si de la totalité des nombres premiers de la forme 4n + 3, on retranche celle des nombres premiers de la forme 4n + 1, et que l’on divise ensuite cette

différence par la quantité ee, on trouvera plusieurs valeurs de + telles, que

ce quotient s’approchera de l’unité aussi près qu’on le voudra. Cette différence dans la répartition des nombres premiers de la forme 4n + 1 et 4n + 3, se manifeste clairement dans plusieurs cas. Par exemple, 1) à mesure que c s’approche de zéro, la valeur de la série

—30 —6$0 —1C —]1C —]3C —]17C —]19C —23C D mb he He Mie Mila =.

s'approche de +- co; 2) la série

FGB)—F(6) +07) +fA1) —f(3)—f(7)+f(19) + f(23) +...

où f(x) est une fonction constamment décroissante, ne peut être conver-

gente, à moins que la limite du produit g° f(x), pour z— co, ne soit zéro.

Je suis parvenu à ces résultats en traitant une certaine équation, relative aux nombres premiers, et qui comprend, comme cas particulier celle que M. A. de Polignac et moi, indépendamment l’un de l’autre, nous avons trouvée dans nos recherches sur les nombres premiers.

Agréez etc.

Signé: P. Tchébychev.

Le 10 mars 1858.

Sur l'intégration des différentielles qui contiennent une racine carrée d’un polynôme du troisième ou du quatrième degré.