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Pour donner un exemple de ces calculs, nous allons chercher la valeur approchée de la série |

«te 2 log 2 3 log 3 5 log 5 7 log 7 11 log 11 ‘ En prenant = 100; = REP CE SPEARS POI ER PRE EUR ES TT 3 log 3 5 log 5 7 log 7 11log11 97 log 97? S—=$S,+ U, U étant déterminé par la série 2 je Safe Ans HOT men he OtG.

101 log 101 103 log 103 107 log 107 ?

nous trouverons, par les tables des nombres premiers, S,= 1,42, et les inégalités (10) pour F(x) — STE t— 100, nous donneront z = D mob — ler + D see © Old, U<; 06 to 06 vi à + a si < 0,28.

D’après ces inégalités nous concluons que la valeur de U ne diffère de

EE 0,21 que d’une quantité plus petite que De 0,07. Donc 1,42 + 0,21 — 1,63 sera la valeur de la série 1 1 1 1 1 + + —+- etc.

21082 * 31053 * Blogs 7 log 7 11 log 11 exacte à 0,1 près.

$ 9. La totalité des nombres premiers, compris dans les limites données, se déduit comme cas particulier de la valeur de la série

que nous avons examinée dans les paragraphes précédents. En effet, si l’on prend F{&)= 1, la somme F(a)+ F(B)+F(y)+...+#F(e)

se réduira à autant d'unités qu’il se trouve de termes dans la série des nombres premiers

a PB; Yi...

Donc, les formules (9), dans le cas de F(x) — 1, détermineront les limites entre lesquelles tombe la totalité des nombres premiers, compris entre L et L. Ces limites sont plus étroites que celles que nous avons trouvées dans le paragraphe 6, en vertu des inégalités que la fonction 4 (x) vérifie. Dans le cas particulier de / — 2, nous trouvons que

æ=L On (1) __G Q) 2 Or (æ) — O1(x — 1) log 2 log 2 À log æ U &=

log 2 log 2 log æ

a=L k Or (1) __ On) Ÿ Or (x) — Ox(x — 1) æ—2

sont des limites entre lesquelles tombe la totalité des nombres premiers de 2 à L, ou bien, ce qui revient au même, la totalité des nombres premiers qui ne surpassent pas Z. En calculant la demi-somme de ces limites (11) nous aurons une valeur approchée de la totalité des nombres premiers qui ne surpassent pas Z. Quant à l'erreur de cette valeur, elle ne pourra surpasser la demi-différence des expressions (11). Par des calculs très simples on parvient à reconnaître que le rapport de la demi-différence des expres-

sions (11) à leur demi-somme devient égal à quand on fait L = co.

Donc, pour de très grandes valeurs de Z, ce rapport sera inférieur à D

et par conséquent si l’on calcule, d’après nos formules, la totalité des nom-

bres premiers qui ne surpassent pas une limite donnée, très grande, l'erreur

. "RS. « 1 12 , sera inférieure à 16 de la quantité cherchée.