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Sur les formes quadratiques.

Euler nous à déjà donné plusieurs exemples du parti que l’on peut tirer de la représentation des nombres par des formes quadratiques à déterminants négatifs pour reconnaître s’ils sont premiers ou non. Je vais, à présent, montrer que, dans ces recherches, on peut aussi bien se servir de certaines formes à déterminants positifs, ce qui est nécessaire pour rendre cette méthode tout à fait générale et même avantageuse pour des nombres d’une grandeur considérable. En effet, quand on se borne seulement aux formes quadratiques à déterminants négatifs, les différents nombres exigent l’emploi de plusieurs différentes formes, et chacune d’elles demande des procédés particuliers pour trouver facilement la représentation du nombre donné. De plus, le nombre de ces formes propres à distinguer le cas d’un nombre premier de celui d’un nombre composé étant limité, on peut rencontrer des nombres qui ne peuvent prendre aucune de ces formes. On écarterait toutes ces difficultés si l’on pouvait considérer les nombres d’après leur représentation par des formes quadratiques à déterminants positifs; car alors, pour embrasser tous les cas possibles, il suffira d’un petit nombre de formes convenablement choiïsies, telles que, par exemple,

Hp, +2y, 2 — 2%, ou |

C+ÿ, d+3ÿ, 3yÿ —ax; etc.

D'ailleurs il ne sera pas difficile, en traitant chacune d’elles, de construire des tables qui faciliteront considérablement ces recherches. La totalité des représentations du nombre AN par la forme Ax° + By