RARE. PORT

étant limitée, on distingue le cas de N premier de celui où il est composé, en cherchant le nombre de résolutions de l’équation

A + By = N.

Nous verrons que la même chose a lieu par rapport à l’équation L — Dÿ = + N,

si parmi ses solutions, qui sont en nombre infini, on ne compte que celles où æ et y ne surpassent pas certaines limites, ce qui revient à ne compter que le nombre de certains groupes que présentent toutes les solutions possibles de l’équation

@ — Dÿ = EH N.

Soient «, 6 les plus petites valeurs de æ, y qui, étant au-dessus de zéro, vérifient l’équation a — D? = 1,

et a, b des nombres positifs qui vérifient celle-ci, d — D = EN.

Par la multiplication des équations

— DB—=1, &@—D—+N, nous trouvons (ax — bBDŸ — D (ab — ba} — + N,

ce qui prouve que les nombres m—= E(aa—bBD), y = +(af —ba),

vérifient aussi l’équation d — Dÿ = + N.

De cette manière on pourra toujours passer d’une solution de l’équation — D =+N

à une autre, et, par conséquent, trouver plusieurs valeurs de x et de y qui

mé Ve de

la vérifient. Examinons maintenant dans quel cas les nombres positifs +, y, donnés par les formules

(1) x = (aa —bBD), y = + (af — ba),

seront plus petits que les nombres & et b dont on est parti. Dans ces recherches, il faut faire attention aux signes Æ qu’on doit prendre dans les formules (1) pour rendre x, y positifs, et pour cela nous traiterons séparément deux cas,

—Dÿ =N, à —Dÿ = —N.

Dans le premier cas, nous aurons

dd — Di = N, ce qui donne a — V DV? + N ; de plus, d’après l’équation a — D? — 1, on trouve a = V D + 1.

En mettant ces valeurs de a et « dans l’équation

x = + (ax — bED), on obtient

x = +(V DE +N.V DE + 1 —068D),

d’où il est clair que æ sera positif quand on prendra la formule # (ax—b$ D) avec le signe +. Mais, pour que cette valeur de æ— a a —bfD soit plus petite que a, et, par conséquent, y plus petit que b, nous trouvons cette condition aa — bBD < a.

Cette inégalité donne

bBD a

et, en y mettant les valeurs de b et B tirées des équations

Ê—DP=N, —DF—]1, nous trouverons ‘ (a? —1)(a? — N) Nr Le pe

RS | He

et, par conséquent, cd V (a 2 N

Donc les nouvelles valeurs de x et y seront toujours plus petites que celles (a+ 1)N à l’aide des formules (1) successivement d’une solution de l’équation

dont on part, si la valeur de a surpasse V ; par conséquent, en tirant

2 — Dyÿ — N

une autre, on parviendra nécessairement à de telles valeurs de x et y que

la première ne surpasse pas Ve Quant à la limite de la valeur de y,

nous la trouvons égale à VS car, pour 1) N PR TS LE ) l'équation 2? — Dy = N donne ,/@—DY durs 2D

De cette manière se trouve établi le théorème suivant: Théorème. S: l'équation 2 — Dy° — N

est possible, on trouverà dans les limites

des valeurs entières de x et y qui la vérifient, x — «x élant la plus petite solution, supérieure à l'unité, de l'équation

2 — Dy° — 1.

En passant au cas de | — Dÿ = —N,

nous remarquons que, d’après les équations G—DP——N, a—D#—],

on aura ‘a=V D —N, a = V DB? + k,

RER et, par conséquent, la valeur de y = Æ (af — ba) pourra être mise sous cette forme,

y= + (BV DE —N—bVDF +1),

ou, ce qui revient au même,

4 (DE? — N)— 02 (DB +1) —pN—b!?

te 8VDE—N+0V DB+I TDF Dpt

De là nous concluons que y est positif quand on prend la formule Æ (af — b à) avec le signe —, et que, par conséquent, pour rendre y inférieur à b, nous devons vérifier cette condition

— (af — ba) < bd.

Cette inégalité donne ax— 1 << D @— 1) <%,

et, en y mettant les valeurs de a? et 6° d’après les équations