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Les limites entre lesquelles, d’après les théorèmes qui viennent d’être démontrés, on est sûr de trouver des nombres x et y qui vérifient l’équation

D — Dj —+N

quand elle est possible, jouissent de cette propriété remarquable:

Six —=a, y—=0b, x —=a,, y —b,, sont deux systèmes de valeurs de x et y qui ne surpassent pas les limites trouvées plus haut et vérifient l’une des équations

—Dÿf =N, &— Dÿ = —N,

les nombres ab, + a,b, ab, — a, b ne seront pas divisibles par N, tandis que leur produit (ab, + a,b) (ab, — a. b) sera un multiple de N.

Pour établir cette propriété, observons d’abord que le produit des deux équations :

d—DP—EN, &—DP—=+HN,

peut être mis sous la forme (aa, + Dbb,} —- D (ab, + ab) = N°.

Cela posé, si nous admettons que ab, Æ a, b pris avec l’un des signes +- ou — soit divisible par N, le nombre aa, + D bb, pris avec le même signe devra

ou. ES

nécessairement, d’après l’équation précédente, être également divisible par N; on aurait donc, dans cette hypothèse,

a + Dbb, 2 ab, + ab\2 COR EE

aa DD, ab tab, FA N sons que « est la plus petite valeur de +, autre que l’unité, satisfaisant à

étant des nombres entiers. Mais, comme nous suppo-

l’équation 2 — Dyÿ? — 1,

la formule précédente sera impossible si l’on établit l’inégalité

(en < pr *

Or nous allons démontrer que ceci a toujours lieu quand on prend pour a et

e = PE et pour b, b, des valeurs

a, des nombres qui ne surpassent pas V

re à à N . pe non au-dessus de y” ee . (Les signes supérieurs se rapportent au cas

de 2 — Dyÿ = N, et les signes inférieurs à celui de & — Dÿ ——N). Pour prouver notre assertion, nous remarquerons que, & et a, étant compris

entre les limites 0 et ae b et b, entre O et Ve la valeur de

per ne pourra surpasser celle qu'on trouverait en admettant le signe +- dans la formule, et en y supposant de plus

Ra nt. (at1)N MET enes, VA tr Re Gralon « Fe x D bb 2 Ld ® 4 Or, comme dans cette hypothèse la valeur de fe se réduit à «?, nous en concluons que, dans les limites données plus haut, le maximum de + 9 è pr est æ, et que ce maximum n’a lieu que pour a = a, b —=b,. Donc, dans le cas que nous examinons, où @ et b sont différents de 4,, b,, On aura nécessairement (es en) Lo,

ce qu’il s'agissait de démontrer.

Nous venons donc d'établir qu'aucun des deux nombres ab, + ab, ab, — a,b n’est divisible par N. Quant à leur produit

(ab, + a,b) (ab, — a,b) = a bi — &b’,

il est évidemment divisible par N; en effet, en substituant dans la formule a? b?, — a, b? les valeurs de «?, a?,, tirées des équations

—DP—=+EN, &—Di—=+HN,

nous trouvons de suite db? — af b? — + (D? — 1°) N.

Donc, si a, a, b, b, sont des valeurs entières de æ et de y comprises dans les limites

2 0. = EX, y= 0, = Ve,

et qui vérifient l’équation