Æ1)N HAN

t==p, z=y E , 0, y = a Pa — ,

peut être vérifiée par deux systèmes différents de valeurs de x et y, le nombre N est composé.

Quant à æ, ce nombre à ici la même signification que dans les théorèmes précédents.

D’après les théorèmes que nous venons de prouver, la représentation du nombre N par la formule # (2° — Dy?) nous conduit à reconnaître que N est un nombre composé dans les deux cas suivants:

1°. Si, N étant de la forme des diviseurs linéaires de 4? — Dy° susceptibles d’être représentés par la forme (x? — Dy), on ne trouve pas dans les limites |

+<IN Ra FN.

DD

des valeurs entières de x, y qui rendent l’expression + (2? — Dy) égale à N; car alors, d’après l’un des deux premiers théorèmes, l'équation

sera impossible, et ceci n’aura lieu que pour N composé; 2°, Si, dans ces limites, on trouve deux représentations différentes du nombre N; d’aprés le dernier théorème, ceci suppose que N est composé. Donc, le nombre N ne peut être premier que dans le cas où l’équation 2m — Dÿ= + N, dans les limites

V +Hl)N V Æl)N Le 0 LT = PER #5 0; y = —

n’a qu’une seule solution dans laquelle évidemment x doit être premier à y et à D. Mais toutes les fois que ceci a lieu, peut-on en conclure que le nombre N soit nécessairement premier ?

En examinant sous ce rapport les formes

A (2° RASE Dy),

nous remarquons qu’elles se divisent en deux espèces. Les unes, dans les limites énoncées x étant premier à y et à D, ne donnent une seule représentation de N que dans le cas où ce nombre est premier; telles sont, par exemple, les formes

H(—2yÿ), HE —3), + —5#), etc.

Les autres, au contraire, donnent une seule représentation non-seulement pour des nombres premiers, mais aussi pour plusieurs nombres composés quand on prend les nombres x, y dans les limites

æ=—0, A ALES = 1 @ÆUN

æ étant premier à y et à D. Par exemple, en cherchant la représentation du nombre composé 371 par la forme æ — 37 y, nous trouvons que les limites de x et de y sont

FE - ,/m+5371 A0 DS do sy EE, RU RÉE M aers à

EC | A car la solution la plus simple de l’équation

—37ÿ—=1 est la suivante:

Or, dans ces limites, nous observons que l’équation 2 — 37 ÿ = 371

ne peut être vérifiée qu’en prenant == 06, -y= D.

Nous ne donnerons pas ici une méthode générale pour distinguer à laquelle des deux espèces appartient une forme donnée + (x? — D), comme Euler l’a fait par rapport aux formes Az? + By°; nous nous bornerons quant à présent à assigner plusieurs formes de la première espèce, qu’on reconnaît très-aisément.

Nous avons vu, dans le $ IT, que si l’équation m— Dj =+N

est possible, on en trouvera au moins une solution dans les limites se ve (a+1)N pue a—H1)N 30, sy, Y=0, Ye que: PR

Nous allons démontrer maintenant que, dans ces limites, l’équation d—Dÿ = + N, étant susceptible d’être vérifiée par =, y=m, 21, y =,

aura au moins deux solutions, si les nombres /m'+- l'm, Im — l'm ne sont pas divisibles par N.

Pour parvenir à cette conclusion, nous remarquons d’abord qu’en général, si +, y, X, Y vérifient l’équation

—Dÿ = + N,

et que les nombres zY + yX, &Y—yX ne soient pas divisibles par N, la

même chose aura lieu quand on aura remplacé x, y par les nombres *,, y, tirés des équations

(2) t, = E(axc—$yD), y, = + (x — ay),

dont nous nous sommes servi dans le $ Il. En effet, nous avons prouvé dans ce paragraphe que les valeurs de x,, y,, déterminées par les formules (2), vérifieront l’equation

br Te Dy — + N, et comme

X?— DY°—+HN, nous trouverons

(@i — Dyn) (X°— DE) = N?,

ou bien, ce qui revient au même, @ XÆE Dy, YŸ —D&Y+y X) = N°;

il est clair de là que six, Y+y, X, pris avec l’un des deux signes +, était divisible par N, le nombre x, X + Dy, Y, pris avec le même signe, serait également divisible par N. Mais cela ne peut avoir lieu; pour le faire voir, observons que tY + yX, Y—yX, d’après les formules (2), peuvent être mis sous la forme

+GYrnX)at$ (a X+ Dy À).

Or, si les nombres x, YF +, X, x, X + Dy, Y, pris avec l’un des deux signes +, étaient divisibles par N, il s’ensuivrait aussi qu’un des nombres 2Y + yX, xY —yX serait également divisible par N, ce qui n’est pas. Donc aussi les nombres x, F+ 7, X, x, Y— y, X ne pourront pas être divisibles par N.

D’après cela, nous concluons que si les nombres /m' + l'm, Im —l'm ne sont pas divisibles par N, et que æ—a, y —b soit une solution de l'équation

— Dÿf=+N dans les limites

+1)N en LIN x = 0, sy EE y= 0, Lo GEI,

qu’on trouve, d’après le $ IT, en partant de æ—}, y —m, et en passant

successivement d’une solution à une autre à l’aide des équations (2), les 6*

nombres am’, am — Dbl' ne seront non plus divisibles par N. De la même manière nous conclurons que si &,, b, est une solution de l'équation

— Dÿ = HN, dans les limites

UN 1) N FE 1 À :=V" : = 0, Y = Cri :

qu’on trouvera en partant de æ —l', y—m', on ne rendra pas les nombres am +-bl', am — D divisibles par N, en remplaçant /', #' par a,, b,. Mais ceci suppose évidemment que les nombres à, b, ne sont pas respectivement égaux aux nombres a, b; car, autrement, am'—bl', se réduisant à

ab — ba = 0,

deviendrait divisible par N. Donc, dans les limites

a+l)N De 1).

æ = 0, :=V" Et y = 0, ES ET ;

on trouvera nécessairement deux solutions de l’equation

Ê— Dÿ = EN,

si elle est susceptible d’être vérifiée par deux systèmes de valeurs

et que les nombres Zm' + l'm, Im —l'm ne soient pas divisibles par N.

D'après ce que nous venons de prouver, nous allons montrer que toutes les formes Æ (2? — Dy?), dont tous les diviseurs quadratiques ont la forme At? — uy?, peuvent servir pour examiner si un nombre donné est premier Ou non.

Théorème. Soient x? — Dy° une forme dont tous les diviseurs quadratiques ont la forme XX? — uy°, N un nombre premier par rapport à D et ayant la forme des diviseurs linéaires contenus dans une seule forme quadratique + (2? — Dy). Le nombre N sera premier si l’on trouve, dans les limites

x — 0, PATES y=0, .y—= C?,