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une seule représentation du nombre N par la forme + (x? — Dy), et que, dans cette représentation, æ et y n'aient point de facteur commun, à étant la

plus petite valeur de x supérieure à l’unité parmi les solutions de l'équation

2 — Dyÿ = 1.

Dans tous les autres cas le nombre N sera composé.

Démonstration. Pour établir le théorème énoncé, nous allons faire voir que lorsque N est un nombre composé, l’un des trois cas suivants aura nécessairement lieu:

1°. On ne trouvera pas de représentation du nombre N par la forme + (a? — Dy°) dans les limites

EN 1) N x — 0, =" È , y = 0, —= ES .

20, On trouvera dans ces limites une représentation de N pour laquelle æ, y ne seront pas premiers entre eux; 30, On trouvera dans ces limites plusieurs représentations du nombre N.

Si parmi les facteurs du nombre N on trouve des nombres qui ne soient pas diviseurs de 2°— Dy?, l’équation

M — Dÿ=+N

ne sera pas possible, à moins que ces facteurs ne divisent +? et y”. Donc, dans ce cas, ou bien la représentation du nombre N par la forme Æ (x° — Dy) sera impossible, ou bien dans la représentation du nombre N les nombres æ et y ne seront pas premiers entre eux.

En passant au cas où tous les facteurs de N sont diviseurs de x? — Dy, supposons que NSN:N,.

Tous les diviseurs quadratiques de æ?— Dyÿ? ayant, par supposition, la forme A4? — uy°, nous concluons que les nombres N,, N, pourront être re-

présentés ainsi:

(3) N=ht—1p y, N,= 3,4% — pys, et comme leur produit N a la forme + (x? — Dy), on trouvera

à =, bot dans le cas de N—2%— D,

L=—k, W=—tm dans le cas de

N= — (2° — Dy).

Donc NN,= Et — pi) (da — bu Yà), on bien, ce qui revient au même, N N, = + [OA Li y Æ Ua Ya Ys) — fu (& Ya nd À ts) |. D’après cette équation et en remarquant que

NN,=N, M lu = D,

nous concluons que l’équation

sera vérifiée par deux systèmes de valeurs de x, y,

(4) X =} LL + Ua Yi Yo Xi = À M Lg — Ua Va Vos

= y +, P =%y—-yx.

En cherchant, d’après ces formules, les valeurs de XY,+ YX,, X nt 0. 9

nous trouvons

XV, + PX, = (Am @, + bu Yi Ye) (A Ye — Ya Le) + (hi Di Te — ba Va Ya) (D 1 Yo + Va La) = 24,4% (it — my) =22,YN,,

APT = Qu + y) m — Ye)

—(\t,z, — 4 Yi Ya) (Ci Ya + Yi Le)

= — 24,y, (A, %9 — MY) =—24 y N,.

D'où il est clair que si à, y, est premier par rapport à N,, et x, y, est premier par rapport à N,, les nombres XY,+ YX,, XY,—YX, ne seront

pas divisibles par N=N,N,

PU. pou ce qui, d’après le $ V, suppose deux solutions de l’équation

— Dÿ = + N, dans les limites

El) N ON œ—= 0, e= y EE, y = 0, Sners CEE ÈS

Quant au cas où x, y, aurait un commun diviseur avec N,, ou bien x, y, avec N,, il n’est pas difficile de s’assurer que les solutions (4) de l’équation

d— Df=+N

ainsi que toutes les autres qu’on en pourrait tirer à l’aide des formules (2), contiendront des valeurs de x, y divisibles par un même nombre.

C’est ainsi que nous nous convainquons que, dans les suppositions énoncées plus haut, on ne trouvera jamais un nombre composé N qui puisse avoir, dans les limites

+Hl)N UN z—=0, æ— G L « y = 0, = EE ;

une seule représentation par la forme # (x? — 1)}ÿ?), pour des nombres x, y premiers entre eux. Donc ceci ne peut avoir lieu que pour N premier; dans le cas contraire, d’après ce que nous avons vu dans le $ V, on conclura que N est composé.

C’est de cette manière qu’on pourra reconnaître la nature d’un nombre donné d’après sa représentation par la forme quadratique 4° — Dy ou — (2? — Dy?) si tous les diviseurs quadratiques de 2° — Dy? ont la forme At? —py. Nous allons maintenant présenter une Table de ces formes les plus simples, avec les limites de x, y, déterminées par les formules

«EDN GHIN VE, VE,

ainsi que des formes linéaires des nombres qui peuvent être examinés au moyen de ces formes.

Formes quadratiques Limites de æ, y. Formes linéaires de N. de N.

ee DS

Formes quadratiques Limites de x, y. Formes linéaires de N. de N.

17 | = V7 HP ALE 1, 9, 13, 15, 19, 21, 25, 17 N= 68 n + { 33, 35, 48, 47, 49, 53, 55, — (x2— 17ÿ)| x —V 16N, y=VN Ses a2— 19% | x — VT N, Vs" N—76 n+ {7 9, 17, 26,'45, 49, 61, (y? 19y2) eV Ex ne N— 6m {5,15 15, 27, 31, 51, 59, 67, x?— 21y? | æ —V 28N, v=V7" N= 84n+ 1, 25, 37, 43, 67, 79 —(x2— 21ÿ)| &æ = V 27N, y =V5r N— 84 n +- 5, 17, 41, 47, 59, 83 î — 22%? | x —V 99N, y=VSn N— 88 ERÉTET Pr. 973.88: 0007, — (?— 22y?)| æ —V 98N, y=VÈn N=88n-+ {7,15 25, 20» 89, GE 68, ? ?

98p | x = 5 x, V5" N=o2n+{ };9,15,26, 29,41, 49, 78, 23 25 7, 11, 15, 19, 43, 51, 63 — (y2— 2 ET NEUX is — (x?— 23y?)| x — 5 N, y=VÈx N=92n+ {or 79. 83, re ct Der = 25 1, 9, 17, 23, 25, 49, 55, Fa 2 — — ms — ; 26y? | &—V 26N, y Va” N 104n+ {7 81, 87, 98, 103” se — 5, 11, 19, 21, 37, 45, 59 en ÉR. à nn — Je" , (x?— 26y?)| x = V 25N, y=VN N—10an+ {0 83. 85, 93, 99 * Vis cEe 4900 1, 5,7, 9, 13, 28, 25, 33, —29ÿ | x—V 490IN, y—}/ SN 3, 45, 49, 51, 53, 87, 59, __\N—116n+ 2 68,65, 67, 71, 81, 83, 91, (#2 992) | 7 — V 20007, v=V 1 N Fo 107, 109, 111, a2— 30ÿ2 | x =V6N, y = FN N= 190 n + 1, 19, 49, 91 — (x2— 30y2)| x —V 5N, y — TN N— 120 n + 29, 71, 101, 119 1521 151 1, 5,9, 25, 33, 41, 45, 49, — 81y? e-Vx, es en N N— 124 n+-4 69, 81, 97, 101, 109, 113, 119, 3, 11, 15, 23, 27, 43, 55, — (a?— 31?) = N “ÿ# TN N=— in À 79, 83, 91, 99, 115, 119, 193 1 1, 25, 31, 37, 49, 67,91 — 33y? | x —V12N, y=V5N N—1s2n+ {0 ET Cr AE es 4 17, 29, 35, 41, 65, 83,95 se ft 2 = au Re Le , (x2— 33y2)| x = V11N, y=V NN N=182n+ {10 107, 131 ? ;