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D’après ce que nous venons de trouver, on voit qu’il y a plusieurs formes à déterminants positifs dont on peut se servir pour examiner si un nombre donné est premier ou non. Quant aux limites de x, y, dans lesquelles on doit chercher la représentation du nombre examiné par la forme + (x? — Dy), elles ne sont pas toujours plus étendues que celles qu’on trouve par rapport à la forme 4? + Dy?. Ainsi, on voit d’après la Table précédente, qu’en cherchant la représentation du nombre AN par la forme 3 y? — x?,

on ne doit pas aller au delà de y — LE

> €t, Comme y ne peut pas être

évidemment plus petit que V+ mites J/, V5 . De la même manière nous apercevons que, pour trouver

on cherchera la valeur de y entre les li-

la représentation du nombre N par la forme 2° — 3 ÿ?, on cherchera x entre

les limites VN, V+Y : pour la forme 2° — 2%, ces limites sont VAN, V2 N, etc.

Nous allons maintenant montrer par un exemple qu’à l’aide de la forme # (x? — Dy*), convenablement choisie, il n’est pas difficile d’examiner si un nombre douné est premier ou non, même quand ce nombre est considérable. Nous choisissons le nombre 8520191; Legendre (voyez sa Théorie des Nombres, tome II, page 150), en cherchant deux nombres À et B, tels que chacun d’eux soit égal à la somme des diviseurs de l’autre, celui-ci non compris, à trouvé que

vérifieront cette condition si le nombre 8520191 est premier. Mais jusqu’à présent on ne sait si ce nombre est premier ou non.

En remarquant que le nombre 8520191 est de la forme 12 n+ 11, et que tous les nombres premiers de cette forme peuvent être représentés par 3y*— 2°, nous allons chercher la représentation de 8520191 par la forme 3 y? — x°?. D’après le procédé exposé plus haut, nous allons chercher la valeur de y entre les limites

8520191 8520191 Fu: +

c’est-à-dire entre les limites

LE AS De

Pour que la forme 3y*— 2? représente un nombre impair, on prendra x impair et y pair, ou bien æ pair et y impair. En faisant, dans le premier cas,

x—=9n+1l, y—=2n,, nous trouvons que 3 y°— +? se réduit à

ce qui ne peut être égal à 8520191, qui est de la forme 8 m— 1, si n, est impair. Donc n, = 2i,

et, par conséquent, on aura, dans le premier cas, f—= 41.

En passant au cas de x pair et y impair faisons m—2n, y—=2n, +].

Pour ces valeurs de #, y la forme 3 y? — x° devient

3 + 24m am,

et, en égalant cette quantité à 8520191, nous trouvons l’équation 8 + 24m 4 y — 8520191.

- Or, comme cette équation se réduit à

6m+ D y 2130047, nous en concluons que n est impair.

Faisant donc n—=2m + 1, l’équation précédente devient