D” ER
D’après ces formes de /, 7”, 1”, il est très-facile de trouver toutes les solutions de l’équation
3 y? — x? — 8520191 dans les limites y> 1685, y< 2065.
Dans les cas de Y = 4 b,
nous trouvons que / doit être compris dans les limites 421 et 516. Si l’on prend, dans ces limites, tous les nombres de la forme
et qu’on rejette, d’après l’équation l=5n+0, 2, 3,
tous les nombres dont le dernier chiffre est 1, 4, 6, 9, on ne trouvera que ces trente nombres:
D’après l’équation l=7n+2, 3, 4,5
on supprimera de cette Table tous les nombres qui, divisés par 7, donnent des restes égaux à 0, 1, 6, et l’on n’aura alors qu’à examiner dix-sept nombres parmi lesquels on reconnaîtra très-aisément ceux qui, divisés par 11, ne donnent pas les restes 3, 4, 5, 6, 7, 8; tous ces nombres, d’aprés l’équation
doivent aussi être rejetés; alors il ne restera que les huit nombres suivants:
mu Ge De plus, divisant ces nombres par 17, nous n’en trouverons que due 437, 458, 465, 502, qui s’accordent avec les formes l—17n+1, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 16;
d’ailleurs, comme ces nombres conduisent à des valeurs de y qui ne véri-
fient pas l’équation 83 y? — x? — 8520191,
nous en concluons que, dans les limites énoncées plus haut, cette équation n’a point de solution pour laquelle y serait de la forme 4.7.
En passant au cas de y=16l +1,
nous trouvons que les limites de Z’ sont 105 et 129 , et que, dans ces limites, les nombres de la forme
13 n + 0, 2, 3, 4, 5, 6, 8, qui, s’accordant avec les suivantes:
l'=5n+1, 2, 4, se terminent par 1, 2, 4, 6, 7, 9, sont
En rejetant de là, d’après l’équation ‘= 7n+0, 2, 4, 6,
tous les nombres qui, divisés par 7, donnent des restes différents de 0, 2, 4, 6, et, de plus, tous les nombres qui n’ont pas l’une des formes
11n+0, 1, 3, 4, 6, 9, il ne reste que les deux suivants:
Mani id 1.
= 00 — En cherchant, d’après ces valeurs de /”, celles de y=16l +1, en substituant ces ee dans l’équation 3 y — x? — 8520191, nous trouvons que la seconde donne
yz= 1937,
qui vérifie l’équation 3 y —x° — 8520191,
en prenant
Quant au dernier cas, c’est-à-dire celui de y=161"— 1,
nous trouvons 105 et 129 pour limites de /”; dans ces limites, d’après les
équations l"—13n+0, 5, 7, 8, 9, 10, 11,
l'=bn+1, 3, 4, nous aurons les nombres suivants:
dont il ne restera qu’un seul, 126,
quand on aura rejeté tous les nombres qui ne s'accordent pas avec les formes
l—=1n+0, 1, 3, 5, l’—11n+0, 2, 5, 7, 8, 10, et comme le nombre 126 est de la forme $/ 17n +7, et, … conséquent, ne s’accorde pas avec les formes l=17n+0, 1, 2, 3, 6, 9, 12, 13, 14, 15,
nous concluons que ce nombre doit aussi être supprimé.
ME
Ainsi nous ne trouvons qu’une seule représentation du nombre 8520191
et comme, dans cette représentation, les valeurs de x et y, nommément 1654 et 1937, n’ont point de commun diviseur, nous en concluons avec certitude que 8520191 est un nombre premier.
La méthode qui nous a servi à l'examen du nombre 8520191 à l’aide de la forme 3 y? — x? peut être étendue à tous les nombres, en faisant usage de certaines formes quadratiques. Ces recherches, comme on a pu le remarquer d’après l’exemple précédent, pourraient devenir très expéditives, même pour des nombres considérables, si l’on avait des Tables des solutions de la congruence |
8520191 par la forme 3 y — x?, en prenant y non supérieur à
Az + Bÿ=C (mod. p), pour les valeurs les plus simples de p, telles que past, 5, 7, 11,13, 17, 19, 23, 29.
Ces Tables seraient peu nombreuses si l’on se servait des formes à déterminants négatifs et en même temps de celles à déterminants positifs, car alors on n’aurait pas besoin de recourir à plusieurs formes différentes. Aïnsi, par exemple, on pourra examiner tous les nombres au moyen de ces trois formes
Hp, m+2ÿ, dd —2y.
La première servira pour examiner tous les nombres de la forme 8n+ 1, 5; la seconde pourra être employée dans le cas du nombre 8n + 3; et enfin la dernière pour ceux qui ont la forme 8 n + 7.
On verrait de la même manière que tous les cas possibles pourraient également ètre traités au moyen de ces trois formes
SUR
