DIFFÉRENTES SÉRIES

(Journal de mathématiques pures et appliquées. I série, T. XVI, 1851, p. 337—346.)

Note sur différentes séries.

On parvient à des formules très-intéressantes, comme, par exemple au développement de e” en produit d’une infinité de facteurs, à l’expression de sin æ et cos æ par des séries dont le calcul ne demande que la multiplication de x par différentes constantes, et encore à plusieurs autres relations curieuses, en cherchant la valeur de f (1), f (x) étant une fonction liée à une autre F (x) par une équation de l’une de ces trois formes:

Pour y parvenir, nous allons chercher quelle est la loi des séries qui déterminent la valeur de f (1) dans ces trois cas.

.. Commençons par le premier où f (x) et F (x) sont liées par l’équation (1) F(x)=f(x) +f(2x)+f(B82)+f(4x) +f(5x) +f(6 x) +...

Il est évident qu’en vertu de cette équation, la valeur cherchée de f (1) sera exprimée par une série de la forme suivante:

où À,, 4,, 4,..., À,, sont des coefficients numériques indépendants des fonctions f (x) et F (x). Pour trouver ces coefficients, supposons

r étant une quantité quelconque supérieure à 1. Pour cette forme par- 7*

ticulière de f (x), la fonction F (x), d’après l’équation (1), sera déterminée par l’équation 1 1 1 1 1

Gay Gay + Ga Ga Ga °°°?

ou bien, ce qui revient au même,

1 1 F(x) = ;;- . 5 e dut Cut RON EX à

Or, comme cette expression de F (x), conjointement avec f(x) — ar?

doit vérifier l’équation (2), nous concluons que

1 A A A 1 — 4 : e À % Le 1 CR (4+$ +4. 5m +.)

lande

ont an ASE + pre (1—5%)(1 ft —#)(1 — 7).

D'après cette équation, et en remarquant que les coefficients À,, À,, P. SE . sont indépendants de r, on conclut qu’en général À,, est

égal au coefficient de dans le développement du produit

CESR

Or, en examinant ce produit on s’aperçoit de suite qu’il n’y entre point de

»! - RE termes de la forme —; toutes les fois que » est divisible par un carré; donc,

pour de telles valeurs de », le coefficients À4,, sera égal à zéro. Quant aux autres valeurs de », le coefficient À,, se réduit à 1 lorsque » à un nombre pair de diviseurs premiers, et il est égal à — 1 quand le nombre des diviseurs premiers de »# est impair. Ainsi nous trouvons la loi de la série (2) qui donne la valeur de f (1) déterminée par l’équation

De la même manière nous trouverons que, la fonction f (x) étant déterminée par l’équation

F(x) = f(x) + f(38 x) +f(5x) + f(7 x) + f(9 x) + f(11x)+..., la valeur de f (1) sera égale à B, F(1)+ B,F(2)+B,F() + B,F(4)+...+8B, F(m)+...,

Lo

nr L LE » ji‘ 1 £ où B,,B,, B,, B,,..., B,, sont les coefficients de 1, 35, 25, 25, Fr, dans

le développement du produit

Nous concluons de là que

quand » est divisible par 2 ou par un carré, et que B,—=+1 ou —lI1,

suivant que le nombre des diviseurs premiers de # sera pair ou impair. En passant au cas de

F(œ) = f(x) — (82) + f(52)—f(7 x) + f(9 2) — (11 à) +..., nous trouvons fD=CGF(L)+GrF(2)+0GF(G)+CF(4)+...+C,F(m +...