SR U, JE PAT
où U,=k,+khi+k, Pa? +.. +k, he",
V étant un polynome du degré », dont les coefficients ne deviennent pas infinis pour — 0, et » le nombre des équations (5). Ce nombre ne différera de 0 que dans le cas où k,,,— 0, ce qui n’a lieu que pour a égal à une des racines de l’équation f"""æ=—0; car nous dénotons par k,,, la
valeur de RCE Pour que ce nombre soit 2, 3,...etc., il faut que cette racine de l’équation f"*"æ— 0 soit double, triple, ... etc.
D’après (6) on voit que la valeur exacte de U sera composée de deux parties: U, et VR"#"#T, La première partie n’est évidemment que la somme des # + 1 premiers termes du développement de f(a + }2) suivant les puissances de z; quant à la seconde, elle détermine les changements : qu’on doit faire dans les coefficients de cette valeur approchée, lorsque l’on cherche à rendre minimum la limite de ses erreurs dans l’intervalle donné de la variable. En passant à la détermination de cette partie de U, nous mettons la somme U, + Vh"T"#T" à la place de U dans la valeur de Y(3); d’après les équations (4) et (5), la valeur de Y devient.
M de HR PT +. —V)k tr, c’est cette valeur que nous devons chercher à rendre la plus proche possible de zéro entre les limites 2= — 1, 2— + 1.
Si l’on supprime ici le facteur constant "*”"*? et qu’on ne tienne compte que des quantités de l’ordre moins élevé que k, la valeur de V, exacte jusqu'à ce degré, sera déterminée par la condition que V soit celui des polynomes du degré », pour lequel la différence
n+-M+1 LR ? An A
s’écarte le moins possible de zéro depuis 2 = — 1 jusqu’à 2 = + 1. Or, d’après le $ 3, cela se réduit à un système de 2 n + 4 équations de cette forme
N+HMHI VF} — IL? ns 0, À (En +-m +1 Se SE) (a? — 1) = 0,
Me:
La résolution de ces équations à l’aide des méthodes ordinaires de l’Algèbre demande des calculs tout-à-fait impraticables par leur prolixité, tant que », degré du polynome cherché, n’est pas un petit nombre. Nous allons montrer qu’à l’aide du calcul intégral, on peut remplacer ces équations par d’autres dont le nombre, pour toutes les valeurs de », ne surpassera pas 2m, et même trouver leur solution générale dans le cas de »m —= 0 et m —= 1, chose très importante pour la méthode d’approximation dont nous nous occupons; car, d’après ce que nous avons dit plus haut par rapport au nombre #, il n’aura une valeur considérable que dans des cas exceptionnels, très rares; sa valeur ordinaire est zéro. Ce dernier cas est celui qui se présente dans la théorie des parallélogrammes.
$ 4. En faisant pour abréger
(7) y AA k lobéhetiié En V.
les équations qui déterminent V se présenteront sous cette forme (8) P—L=0, (#—1) = 0.
Ces équations, d’après les conditions du #inimum que nous cherchons, doivent avoir n+2 racines communes, comprises entre 2 = — 1 et 8— +1. Or, y étant un polynome du degré n + m + 1, cela suppose, comme nous allons le montrer, que la fraction
se réduit à celle-ci:
où P et Q sont des fonctions entières, la première du degré 2», la seconde du degré m.
En effet, soient
les n+2 racines communes à ces deux équations; parmi ces racines il y en aura au moins % qui, étant différentes de — 1 et + 1, ne pourront vérifier l’équation
FPE (= +) = 0,
2 NTO sc
; dy à : us qu'en réduisant A à O. Or, si z — 2, est une de ces racines, la différence
a AAC d 2— 2, divisera évidemment F et ÿ — I?. De plus, il est facile de s’assu-
rer que 4° — 1? sera divisible par le carré (2 — 2,); car l’équation pi EL À qui à lieu pour z2—2,, suppose la multiplicité de cette racine dans l’équation ÿ — IL? —= 0. Donc, si
sont les valeurs de z qui vérifient les équations P—L=0, (#—1) #—0, nu réduire 2? — 1 a zéro, les fonctions (& | , ÿ — L? sont divisibles par (2— 2) (e— 2) ...... (e — 2),
et par conséquent, la fraction
se réduit à où P, est un polynome du degré 2 (n+-m+1)—2n—2m+2,
et Q du degré n+m—n—m. Il nous reste à montrer, que le polynome
P, est réductible à la forme P (2? — 1). Pour cela nous remarquons que les
équations P—L—0, (#—1) #—0
se vérifient encore pas deux valeurs de z, savoir:
RE TT ln:
Si ces valeurs ne réduisent pas æ à zéro, elles sont égales à + 1 et — 1, . par conséquent, y — L? est divisible par (241) (2— 1) =#—1. Mais Ÿ Dane WE 1 zéro pour z — + 1, cela suppose que dans la
PME * le numérateur P, contient le facteur # — 1, et z)
. égale à
go
par conséquent, P,=P(#—1).
On peut réduire à la même forme le numérateur " si une des va-
leurs z ou toutes les deux, vérifient l’ équation # % — 0, En effet,
n+1 ? En-p2)
* d J , siz—2,,,rend > É — 0, d’après ce que nous avons dit plus haut, le carré
(2—2,,,) sera ds diviseur commun des fonctions y? — LÀ, (CE), et par
Fou nens de celles-ci: P,, @. Or si l’on supprime ce facteur dans la fraction À o et qu’on y introduise à sa place z + 1 ou z— 1, on aura une fraction, dont les deux termes seront du même degré que ceux de Q° et le
numérateur aura pour facteur 2 1 ou z2— 1. Cela nous montre qu’on aura, dans tous les cas possibles, cette équation différentielle
y — L? __P(s? — 1) NY — @ ?
dy nt: Q dz V(yÿ— IL?) V(s—1)P?
qui se réduit à la forme
où P et Q sont respectivement des degrés 2 »m et m. Comme le premier membre de cette équation a pour intégrale
y+V(ÿ— 17) YVY — 17)?
9 log
nous concluons que la différentielle
2 Q dz V(22— 1) P
sera du nombre de celles dont l’intégrale est réductible à un seul terme lo-
+qV
garithmique de la forme log PE où p, à un facteur constant près, sera
la valeur de y, et par conséquent, d’après (7), la fonction p doit être du degré n+m+1l et ne pourra contenir de termes avec les puissances
ET Cara 2", D’après cela la méthode ingénieuse d’Abel pour
l'intégration des différentielles de la forme Le à l’aide d’un seul terme lo-
garithmique nous donne 2» équations entre les coefficients du polynome P, ce qui est suffisant pour le déterminer; car il n’est que du degré 2m, et un de ses coefficients peut être choisi arbitrairement. Les équations qui déterminent P sont les suivantes: D m conditions d’intégrabilité de
TE dz par la formule log Pt, p étant du degré n + m + 1;
2) m équations qu’on trouve en égalant à zéro les coefficients de 2°*”
2 PE 2"? dans la valeur de p. D’après la méthode d’Abel les
20 dz prie V(2—1P qaV R?
d’un degré déterminé, ainsi que le polynome » sont due en Mebois des
conditions d’intégrabilité de par la formule log p étant
seuls coefficients de P; donc, pour trouver ces coefficients et la valeur dep, on n’aura qu’à résoudre un système de 2» équations avec 2» inconnues, La valeur de p qu’on trouve ainsi nous donne le polynome y, à un facteur constant près, qui sera déterminé d’après (7) par la condition que le coefficient de 2"*"#1 soit égal à has
De cette manière la détermination du polynome y, et par conséquent de V (7), se réduit à la solution de 2» équations, tandis que, d’après (8), les coefficients de ces polynomes sont donnés par un système de 2 n + 4 équations. D’après les méthodes de l’illustre Jacobi, toutes ces recherches se simplifient notablement, dans certains cas, à l’aide des fonctions elliptiques. L'importance de l’équation différentielle que nous venons de trouver pour déterminer y se manifeste sur le cas de m—0, où cette équation s'intègre facilement et nous donne la valeur générale de y pour n quelconque. D’après cette intégrale on trouve aussi la valeur générale de y
pour m—= I.
$ 5. Les fonctions Q et P, dans l’équation différentielle
Qde dy V(a2—1)P V(y?— I?)
sont, comme nous l’avons vu, respectivement du degré » et 2m». Donc, si m = 0, ces fonctions se réduisent à des constantes, et notre équation devient
À dz Pau tS dy VD VU)
après quoi l'intégration donne
À 24+V(22—1) À log 2—V(22— 1)
où la constante C est zéro; car pour 2 = Æ 1 on aura y — + L. Donc
8+V (82 —1) 2 À log yon V8 75
et par conséquent,
EE 4 pires: 2 PS ce qui donne
y = + É [V1 + (eV (2 — 1}.
Pour déterminer les quantités Let À, nous remarquons que, d’après (7), m étant zéro, le polynome y doit être du degré n+ 1 et avoir pour
premier terme k,,, "7". Mais dans le développement de la valeur trouvée
de y le terme affecté de la plus haute puissance de z à cette valeur PRIE qui ne peut être identique avec k,,, "7" à moins qu’on n'ait
k k (9) À=n+ 1, L=+ = + nt,
D’après cela nous trouvons pour l’expression de y, vérifiant les équations (8), dans le cas de » — 0, cette valeur
(10) y—= [eV (81) 4 (2 V (8 — 1)}""]
et par conséquent, d’après (7),
(11) V—L part (EE she Us ee ne
C’est ainsi que pour m—0, et à l’ordre k près, nous trouvons la forme générale de V qui ($ 3) détermine les différences entre les coefficients de la valeur approchée de fx, trouvée par son développement suivant les puissances de æ— a, et celle dont la limite des erreurs dans l’intervalle z—a—h, x —=a+h est minimum. Le cas de m— 0 est celui où t— a ne vérifie pas l’équation f(x) —0, n étant l’exposant de la plus haute puissance de æ dans la valeur approchée de fx qu’on cherche. Dans le cas où x — a est une racine simple de l’équation f"""#— 0, et par conséquent, ml, on trouve avec la même facilité la fonction V, exacte jusqu'aux termes de l’ordre h. En effet, pour »m — 1 l’équation (7) nous donne ge V,
nA+-2
Z n+-2 et comme Vest du degré #, nous concluons que y, outre le terme #,,,4",
ne contiendra que des puissances de z moins élevées que z"*'; parmi les polynomes de cette forme, y est celui qui s’écarte le moins de zéro dans les limites 2=—1, 2= +1. Or, d’après (10), on voit que parmi tous les polynomes, dont le terme affecté de la plus haute puissance de z est k .,2"*?, le minimum des écarts a lieu pour celui-ci:
ki. [(£ + V Ca ES 2) SE: (: OV a me. 7],
et comme dans ce polynome le coefficient de 2°" est égal à O0, nous concluons que c’est la valeur cherchée de y—#k,,,2"""—V. Donc, pour m = 1, le polynome V sera déterminé par cette équation
Va ke anne ve (: +V a 2 ee (: Me, Le FE D}
Dans le cas où » surpasse 1, la valeur de y=#4,,,,, #7" —, et par conséquent V, peut être déterminée, comme nous l'avons vu, par un système de 2» équations.
C’est ainsi qu’on trouvera, dans tous les cas possibles, la fonction V exacte jusqu'aux termes de l’ordre 2. Pour ce qui regarde une plus grande approximation de la valeur de V, elle ne demande que des opérations élémentaires d’Algèbre, comme nous le ferons voir dans les $$ suivants sur le cas de m— 0.
Avant de passer à ces recherches nous nous arrêterons un moment sur la formule (10) pour montrer le parti qu’on peut en tirer par rapport aux propriétés des fonctions entières. Nous avons trouvé cette valeur de y, en cherchant celui des polynomes du degré n + 1 qui, ayant la forme kb, #"—V, s’écartait le moins de zéro dans les limites 2=—1, 2= + 1. Or, lorsque V est un polynome arbitraire du degré n, la différence k,.,, 4" — V est la forme générale de tous les polynomes du degré n + 1, où le coefficient de z"*" est égal à &,,,. Donc, parmi tous ces po-
lynomes, celui qui est donné par la formule (10) s’écarte le moins possible
de zéro dans les limites 2= — 1, 2—<+1, et comme Z, désignant le maximum de ses écarts, est égal à pu (9), nous concluons que tous les autres polynomes de cette forme, depuis 2= — 1 jusqu’à 2 — + 1, pré-
sentent des écarts plus considérables, et par conséquent, leurs valeurs, comme celle de (10), ne peuvent être comprises dans des limites plus étroites que celles-ci:
on an ) b+a TS ae 2 b —'a\v +1 d’où, en remplaçant z par ————, k,,, par A( ; | , n+ 1 par !, nous déduisons le théorème:
Théorème.
Le coefficient. de la plus haute puissance de x d’une fonction entière
du degré l étant À, cette fonction, depuis x — a jusqu'à æ —b, ne pourra être comprise dans les limites plus étroites que celles-ci:
