VOS |: RE

be ni

(5) PV) | Pa + Re”) dp, (6) fa) = 3 | fa + Re”) dp,

si f(a+re" 1), f'(a+ re 1), fa + re 1), fa rer") sont aussi finies et continues, quel que soit p, pour toutes les valeurs 7 qui ne surpassent pas À.

Or l'intégration par parties donne

+r +r f'(a + Re”—1) dp = :] 7 V1 f(a + Re”-1) dp, Li +

f”(a + RewW=1) dp = eV f(a + Re") dp,

D EE At DES ER DANS CESR QU PE en EN D ET LR AUS OR TES ST AU CON oi VE OA DR OUEST CE EP VERT NT DE

+r +x | Fa (a +- Re” 1) dp = NEA us » | e-t-DpV-1 f(a + Re”V-1) dp,

ee | 7

+ x +x fa + Re 1) dp — Sd 5 De | Pa dé f(a + Re” 1) dp,

ce qui change les équations (3), (4), (5) et (6) en celles-ci

(7) fO=3%r I eV f(a+ Re”) dp, (8) l'a) =. | CT FQ+ Re) dp,

OPA. je et EL D ER Eee OR VS APE CON eo OM Tes UE, MP CL dut, CORTEX ARR US NT CS Oeil at et DE

Fax. ee EM f(a + Re”) dp, 0 Por fers res ne dp,

Me ET de Désignant par À la plus grande valeur du module de expression f (a+ Re?!) pour toutes les valeurs de p, nous trouverons que les modules mod. [e-?"=1f(a+ RefŸ—1)], mod. [e-#”-1 f(a + Re?—1)],...

mod. [e-t# 73 f(a + Rer”—3)], mod. [e-"?”"? f(a + Rer”)] ne surpassent pas À; car les modules des expressions

9V=1 —9pV 21 —(n—1)pV 1 —npV=1 CE P ; 6 P ss... :€ ( , €

sont égaux à l’unité.

Cela étant, on conclut des équations (7), (8), (9) et (10)

HT f@ > 1 1 À mod. je Et <a] dp <>;

BAS DR En LS Maliel ire, cat er A6 er ler SU LE (le

nn f®— (a) ESA À MO. 51) < 25° pi À dp <==

D’après cela la condition (1) de la convergence de la série

f(a) ++ fa) +5 f'(a) +. No) 0) +...

se réduit à celle-ci:

lim. DES |] 1, ou simplement à mod. z< R,

4: la limite de À" pour n — © étant l’unité. Donc la série de Taylor

(1) fo+2f(a)+ CES eus ces fo Na) fa) +

sera convergente si le module de z est plus petit que R, où, comme nous l’avons dit, les expressions

fa+re" 1), f{a+re" 1), fe (a + re 1), fo (a+ re 1)...

restent finies et continues, quel que soit p, pour r — R et pour une valeur quelconque de r << R. En d’autres termes: la série de Taylor

Fo) 2 (0) Lo) NO) ONG

sera convergente si le module de z est au dessous du module de la valeur imaginaire de æ qui rend infinie ou discontinue au moins une des fonctions

fa+s), las, l'a, fan), Para)...

Mais ces conditions toutes, sont-elles nécessaires pour la convergence de la série de Taylor? C’est-à-dire: la série de Taylor (11) est-elle toujours divergente pour une valeur de z, dont le module est plus grand que celui de la valeur de x qui rend au moins une des fonctions |

fa+x), fax), fa+x),.. ft (a+x), fM(a+x),...

infinie ou discontinue? Voilà ce que nous allons examiner.

Si la fonction ff” (a + x), par exemple, devient infinie ou discontinue pour æ— X, au moins une des séries

Pa + X) = (0) + À (a) + 9 (a) +.

x"—m—1 if x" F +2 a sul PO) + Sat (O+.…

fo (a + X)— f"#1(a) ++ À ft+2) (x) + 2 ft (a) arr

x"—m—2 SE x" sp base (Os. cr (a) +.

sera divergente, ce qui ne peut avoir lieu qu’en supposant

x"-m—1l ® = lim. [ mod. POP 7h lim. [mod. 1. PRE ee @]" 1.