SUR CS M— 24 (==), M+24A
$ 6. Nous avons vu dans le $ 3, que si l’on cherche le polynome du degré », dont la limite des écarts de f(x) depuis 5—a—h jusqu'à 2—=a+h est minimum, et que f"*" (a) n’est pas zéro, on trouve ce polynome égal à
U+ Vh°""?,
où U est la somme des » + 1 premiers termes du développement de f(x) suivant les puissances de z— a, et V un polynome du degré n, déterminé par cette condition: pour æ— a = hz, V devient un polynome qui, dans les limites 4——1, 2— +1, s'écarte de %,,, 274% hate.
moins que tous les autres du même degré. Quant aux quantités
LS LME an pete
elles sont égales respectivement à
FD (a) FUN T2) (a) 1.2...(n+1)? 1.2...(n +2)" "
Dans les $$ 4 et 5 nous avons cherché la valeur de V exacte jusqu'aux quantités de l’ordre h, et nous l’avons trouvée égale à
bee Pas ins (£ ee à Le SR Se, ip rt” S
Nous allons donner à présent une méthode pour trouver le polynome F avec une précision aussi grande qu’on le voudra.
*) Ce théorème nous conduit à plusieurs autres par rapport à la solution des équations, par exemple:
1) Si f(x) a+ Bal—1+Cxl—2+..... , on trouvera entre les limites X et RIVE 3/(h) au moins une racine de ces deux équations: f(x) = 0, f’ (x) — 0. On prendra le radical avec le signe — ou +, selon que f(h) et f’ (h) sont de même signe ou de signes contraires.
2) L’équation (æl+ Bal—1+Cxl—2+.,...4+Hax)—K?=0 à au moins une racine entre les limites — 2 Ÿ 1K, +92 Ÿ LK.
8) L’équation 2514 B al—-14 Cal—3+....+ HatK—0 a au moins une racine entre
> ee Rs a les limites —2V5XK,+2V1XK; c’est ainsi qu'entre les limites — FT ai — 5 ab + 3
, 27 nie ‘ — . + £ V« — ab + 7 8e trouvera nécessairement au moins une racine de l’équation
cubique x8 +- ax? + bx + c —0.
Si l’on fait pour abréger
ke [(É NS à = see EE + (£ ra . PET 2] ne y.
la valeur de V, que nous venons de trouver aux quantités de l’ordre k près, peut être mise sous cette forme
et par conséquent, sa valeur exacte sera (12) V=k,,, He un Vh,
où V, est un polynome du degré n dont les coefficients restent finis pour h = 0. D'après la propriété du polynome VF, on trouvera ces coefficients, en cherchant à rendre minimum la limite des valeurs de
n+1 n+-2 2 n+3 k,,,2 +k,,,hz hi. h2 2 LV
=k,,, RP + y — Vh
dans l'intervalle 2——1, 2— +1, ce qui suppose, comme nous l’avons vu dans le $ 3, que les équations
LE RER RP + + y — VRP —L/—=0,
(2 PS3 1) [ko hareng RTE + y — Vo h] 0 dz ne ont # +- 2 racines communes entre les limites 2= — 1, 2= +1.
Si l’on ne tient compte que des quantités de l’ordre moins élevé que #?, ces équations deviennent
(13) LES FE mn. " RF At L' = 0, (14) (2° — 1) D 0
De plus, chose très importante pour nous, on peut remplacer la dernière équation, avec le même degré de précision, par celle-ci:
de
En effet, comme cette équation n’a pas de racines multiples (ce qu’on voit d’après la forme de y) on n’influera sur leurs valeurs numériques que
de quantités de l’ordre , si, au premier membre de cette équation, on ajoute le terme
h (82 — 1) À [kn-+e a ie Vol
après quoi elle deviendra identique avec l’équation (14). Donc, les racines de cette équation qui ne deviennent pas infinies pour k — 0, et par conséquent, toutes celles qui restent .comprises entre les limites — 1 et +1 pour fort petit, sont données par l'égalité
avec une précision allant jusqu’au premier degré de ». Mais si dans les racines de l’équation (14), autres que 2= #1, on fait une faute de l’ordre h, l'erreur de la valeur de
[k he + y — VRP — LÀ,
n1-2 pour ces racines, est de l’ordre X? ou plus élevé; car, d’après (14), sa première dérivée, pour ces valeurs de z, est zéro au moins aux quantités de l’ordre À près. Quant aux racines
pour lesquelles cette dérivée peut différer de zéro, elles sont exactes dans l'équation
Donc, aux quantités de l’ordre X? près, la valeur de V,A sera déterminée par la condition que n + 2 racines de l’équation
(8 — 1) = 0 vérifient celle-ci:
En he + y— VRP — IA = 0, qui se réduit à
ÿ+2y(k,,, 8° — Vi) h — Li, —=0,
si l’on supprime ses termes contenant X?, et enfin à
quand on la multiplie par y. Mais, d’après ce que nous avons trouvé dans le $ 5, le polynome y, déterminé par la formule
y —= k.. ENT … Enr
vérifie l'équation y — L? — 0 pour toutes les racines de l’équation 3 1) dy EDS 0,
L étant égal à + fes donc, pour ces valeurs dez, on peut dans l’équation
précédente remplacer y? par L?, ce qui donne (L—L?)y+21(k,,,2—V)h=0.
Or, cette équation ne peut être vérifiée par les n + 2 racines de l’équation
que dans le cas où ces deux équations sont identiques entre elles; car elles sont du même degré n +2 (ce qu’on voit en remarquant que y est du degré n + 1, V, du degré n). Donc, leurs premiers membres sont égaux, à un facteur constant près, et par conséquent,
MPa CR DE —0,
où C est une constante.
Mais comme y est du degré n + 1, manquant du terme avec la puissance 2", et que le degré de V, n’est pas supérieur à », on voit que dans cette formule le coefficient de 2°"? ne se réduit à O que dans le cas où
et par conséquent, L étant égal à + Mai,
kn+- (15) L, = pu Ton.
D'après cela, l'équation précédente nous donne
pi n+z C 2 dy Fish es Ant ebe
C : , Nous trouvons la constante =, en observant que V, ne doit pas contenir
d “ de terme avec 2"**?. Comme dans la valeur de (2? — 1) A où
Ne [(£ + V se cs ( et ee? = joe
2"? cela suppose
nous trouvons le terme (n + 1) k,,,
et par conséquent
En mettant cette valeur de A dans l’expression trouvée de V,, nous
obtenons Ds n+-2 22 — 1 dy Re (EE de)
C’est ainsi que nous trouvons la valeur de V,, exacte jusqu’au premier degré de h, ce qui, d’après (12), nous donne cette valeur de V, exacte jusqu’à /°,
(16) V=k, ET —y+k
n+-2 8? — 1 a) (2 7 n+1) Ln+a d2 k
où, comme nous l’avons vu, y à cette valeur
= “re [(£ + se —— ne En (: — V Le — 7]
$ 7. Sans nous arrêter sur cette approximation de Ÿ, nous allons montrer en général comment on trouvera sa valeur exacte jusqu’au degré 2, quand on a sa valeur aux quantités de l’ordre k! près.
Si nous dénotons par V, cette dernière valeur de V, sa valeur exacte peut être mise sous cette forme
V, étant un polynome du degré », dont les coefficients restent finis pour h— 0. D'après la propriété de W'($ 5), le polynome inconnu V, sera déterminé par la condition que les équations
n+1 n+2 2 ,N+3 lo A [ke 2 +k,,,ha +k,,,h sé db a mnt É — L, = 0, (2 —1) À Cp ga AA gg MR he og RE ETS eV — Vo ht] 0 dz >
aient » +2 racines communes comprises entre les limites 2— —1 et 3 — + 1. Mais, si l’on ne tient compte que des quantités de l’ordre moins élevé que k*, on peut supprimer dans ces équations les termes qui condénnent Be AP PE et présenter le reste sous cette forme
+ Sh— V,hP—L— 0, (17)
Fi l SAR HE 0,
en faisant pour abréger
PF { ÿ.=—= oh ha RE (18) PRE n+-l1-2 l—1 n+21 | S— + Reis h usa ka h è -
Quant aux équations qui déterminent V,, valeur de W exacte seulement jusqu’à #!, nous pouvons les tirer des formules (17), en rejetant les termes qui contiennent 4, A1, 472, Ainsi, à la valeur de X° près, nous aurons pour
És n+1 n+-2 2 ,N+F3 1 ,n4i Dakar eh, html Mess th he 2 F,
les équations suivantes:
—L'=0, (#— 1) se ae 0
dans lesquelles Z, est la valeur de Z, exacte jusqu’à hl; ce qui suppose l’équation
En passant à la détermination de V,, nous remarquons, comme dans le $ précédent, que dans les conditions qui déterminent V, hl, aux quantités de l’ordre #* près, la dernière des équations (17) peut être remplacée par celle-ci:
et comme dans ces conditions il ne s’agit que des racines qui restent finies pour h — 0, cette équation, à son tour, peut être remplacée par une autre
de la forme
W étant une fonction entière choisie de manière à ce que l’équation W—0,
dy é ; à A! près, contienne toutes les racines de l'équation + 1—0 qui ne devien-
nent pas infinies quand on fait » — 0 *). Comme ces racines ne sont qu’au nombre », car, pour À — 0, le polynome y,, que nous considérons maintenant, devient égal à celui trouvé dans le $ 5 (10) et qui n’est que du degré n +- 1, nous concluons que le degré de l'équation W — 0 peut être abaissé jusqu’à n. Dans ce cas l’équation
sera du degré n + 2, et d’après les conditions qui déterminent W, et y,, toutes ses n +- 2 racines doivent vérifier ces deux équations Lu, + Sh— V,hP —L?—0, ÉN L’ = 0, la première avec une précision allant aux termes de l’ordre h', et la seconde jusqu’à k!.
En mettant dans la première de ces équations la valeur Z, d’après
(19) et en supprimant les termes qui contiennent R!, nous obtenons l’égalité
+29, (8—V)h —L —2)1Lh = qui, étant multipliée par y,, nous donne Lg +2y (8 — V)h—22L hy, = 0, équation qui, à R près, sera vérifiée par toutes les n + 2 racines de l’équation (2— 1) W—= 0.
Mais pour ces racines, à près, nous avons aussi l’équation
*) Voici comment on peut séparer les racines de l’équation w+-hv=—0, qui, pour k=0, ne deviennent pas infinies:
Si l’équation uw —0 n’a pas de racines égales, les racines de l'équation FE ET qui ne deviennent pas infinies pour À—0, sont données par celle-ci: w—0, avec une précision jusqu’au premier degré de h. Pour avoir ces racines exactes jusqu’à k?, on prendra u+R=— 0, où R est le reste de la division de + par w; pour l’approximation jusqu’à k3%, on prendra # +R, —0, où R, est le reste de la division de » par u+hR, et ainsi de suite. Dans le cas où l'équation u—0 a des racines égales, la même méthode est applicable, seulement l’approximation ne va pas si vite.
qui, étant multipliée par 2 (S— P,) h° et retranchée de l’équation que nous venons de trouver, nous donne, avec une précision jusqu’à #4”, l’équation suivante :
ou, ce qui revient au même,
1, Mi pt LA) Comme cette équation, aux termes de l’ordre 4°” près, a lieu pour toutes les racines de l’équation
avec le même degré de précision, son premier membre doit être divisible par (2? — 1) W, et par conséquent, si on dénote par À, et R, les restes
44 l l qu’on trouve en divisant y, et Sh + É2
par (—1) W, l'expression PÉSR 2 2 bi 1)
dont les termes sont d’un degré moins élevé que (2? — 1) W, doit être identique avec zéro, aux quantités a près. Donc, avec ce degré d’approximation, On aura
et par conséquent FH TR;
ce qu’on peut mettre sous la forme
en dénotant par g et r le quotient et le reste qu’on trouve en divisant À, par À,. | Or, il n’est pas difficile de s’assurer que cette équation ne peut être
vérifiée qu’en prenant À
#4 — 4, et par conséquent, Vh=r.
En effet, le polynome cherché V, est tout au plus du degré n; la même 9*
chose a lieu par rapport à r: cette fonction est le reste de la division de ZX, par À, et R,, lui même, est le reste de la division de Y par (2 — 1) W; donc le degré der est inférieur au moins de deux unités à celui de (— 1) W, qui est du degré n + 2. Au contraire, le reste R, est nécessairement d’un degré plus élevé que »; car, si l’on fait k — 0, comme nous l’avons remarqué plus haut, le polynome y, se réduit à y, donné par la formule (10), et
alors (2? — 1) W devient (2? — 1) 2 mais, NE la valeur de y, on voit
que le reste se la division de y par (2? — 4h 3, contient un terme avec la puissance 2° 7
Donc, pour trouver la fonction V, h} exacte jusqu’à ht, on procédera de la manière suivante: on divisera les fonctions
AIDES 2 y he}, sh -U st par (2 — 1) W; on divisera le second reste par le premier; le reste de la dernière division est la valeur de V, hl. On trouve facilement le polynome V d’après la fonction V, h}, en remarquant que V — V, +, nl. Le quotient de la dernière division nous donne aussi une valeur très importante; ce quotient, que nous avons dénoté par g, est égal, comme nous
l’avons vu, à la fraction x par conséquent À = g L,, et d’après (19), Let + qh).
Nous trouvons ainsi la constante Z, de l’équation (17), qui nous donne la limite des écarts du polynome V relativement à la fonction
n+1 nH+-2 2 ,N+3 he AR RE RE hs... ;
entre z——1]letz—=+1.
D’après la méthode que nous venons d’exposer, on peut toujours passer d’une valeur approchée de V à une autre plus précise.
$ 8. Nous allons maintenant appliquer cette méthode à la solution de cette question, très importante pour la théorie des parallélogrammes:
«Trouver les modifications qu’on doit apporter aux coefficients de la valeur approchée de fx
fes ET f'(a) + ET fo EE fr (0),
«pour que cette valeur, depuis æ—a—h, jusqu'à æ—=a<+h, s’écarte le «moins possible de fx».
Nous supposons la quantité * assez petite pour qu’on puisse développer les corrections cherchées des coefficients suivant les puissances ascendantes de »; de plus, nous excluons le cas, où f(x) devient zéro pour 4—=a.
D’après ce que nous avons dit dans le $ 3, ces corrections seront données par la formule
où V, comme fonction de 2———, sera déterminée par la condition de
représenter un polynome du quatrième degré, pour lequel la différence
ks + hS+k, Pa +... —V s’écarte le moins possible de zéro depuis z = — 1, jusqu’à z — +- 1. Les coefficients 4, k6, k,..... sont respectivement égaux à fY (a) fu (a) fvu (a) 1.2.3.4.5? 1.2.8...6 1.2.8...7° °°"
L’équation (16) du $ 6 nous donne la valeur de V exacte jusqu’à 4? sous cette forme
2— 14 sk À — y + ke (#5 a) h,
RÉES [(£ nes) ER (——}].
D’après ces formules nous trouvons
Quant à la valeur de Z; qui détermine la limite des écarts de V et de la fonction k, + k, h& + k, h227 +... , d’après (15), nous obtenons
