EL, = ES
En passant à la détermination de V, exacte jusqu'à 2‘, nous remar-
quons que les fonctions désignées dans le $ précédent par V,, y,, S ont maintenant les valeurs suivantes:
=ks +k; ha —k; (4 is s 5) — ki (+ Aer)
D’après les valeurs de V,, y,, 8, la méthode du $ précédent donne V= VF, + Vi,
où V, est un polynome qu’on trouvera à l’aide des procédés suivants: 1) On cherchera l’équation du 4-ème degré qui, exacte jusqu’à #°, contient toutes les racines de l’équation
dy, FR 4 15 2 5 5 8 13 Li Mk (54 te +) + fo (62 — 7 à +7 s)h=0,
qui restent finies, quand on fait k — 0. Comme le reste de la division de
k (6 Ê — T7 À + 7) par ks (5 #—7? a +) est égal à k(—58+ z), d’après la note du $ 7, nous concluons que l'équation qui remplit ces con-
ditions est la suivante:
et par conséquent, la fonction que nous avons représentée dans le $ précédent par W, à cette valeur
2) On cherchera le reste de la division de y, k? par (2? — 1) W. Pour les valeurs de y, et W que nous avons, et en supprimant les termes qui contiennent X*, h°,..... , On trouve ce reste égal à
8) On divisera la fonction
3, QD SR? + TL
par (2— 1) W; dans le cas que nous traitons, le reste de cette division, exacte jusqu’à k‘, a cette valeur
ke 5 Lkh+6k 2. Hk+2% Ve [ 18, ns en
86k2E, +2 kky RS à 87k2k, + 10h67 —5KS 9 That Dk kr ka? x +| 16 KZ LPS GA LE GK hr.
4) On divisera ce dernier reste par le premier
ER D 5 ie 2 F; (2 Er ol ALT dd h£.
Cette division fournira le quotient
7ksky+k2 TR
et le reste
16,7 ONE 4 6442 ka
ER RG AT GK kr; d’où l’on conclura :
1) La quantité V,k?, exacte jusqu’à k*, aura pour valeur 3642 k4 + 2k5kek7 —Kke 8 4 22k.k, —k 2 ,3 87k2k,+10k;kgk7—5k8 8 ,2 16KZ AT TT HP Nate GLS ha
314,4, —3k$ 2 7h ke, +2kkeky —Ke8 8 me ht 64h LE
et par conséquent, on obtiendra, avec le même degré de précision,
5 5 7 13 1 V=V, + VP=k(Sa— Re) hf Res) V,k
Da LT 8642 k,+2%5kgl7— M8 18) a 5 29% k, — ke? à = (Th + rs 1) 4 + (+ ES ) 2
“2 fa8 87k2k3+10kkgky—5k8 18) 5 31k5k—3%e2 (hoh + RS ns) : — (5% PEN) à
7h k3+2kskehy —Ke tk h 4 Es s 5"6/°7 6 5.
2) La valeur de la constante Z, qui détermine la limite de la déviation du polynome Ÿ de la fonction
entre 2= — 1, 2— + 1, est égale à
Tksky+ke? 2 mu + bs Tksky+ke ) L (Re pe) = 5 (1 + 1KZ h :
En multipliant la valeur trouvée de V par X° et remplaçant 2 par
‘=, nous obtenons la formule 8612, k4+-2ks sky — Ke (ER ne RÉ 7.) (a — a) 5 22% ky — Ke?
(Re PRÉ pe }@—a) 872, + 10% kek7 — 58 — (5 Es lé + 5 A 1 + .…)(@—4aÿ Bo sa BIKE, — She — (ha + TUE }@— a) 1 Th + 2kshe kr — ke DR Mauss Te LE + ,,.., dont les coefficients de (4 — a), (x—a},..... déterminent les correc-
tions qu’on doit faire dans ceux de la valeur approchée de f(x)
f! 1 f" fr f(a) +8 @—a)+ TOC nn sn Las G— a) + Red (@— a), quand on cherche à diminuer le plus possible la limite de ses erreurs entre x—a—h, x —4a+h. Quant à la valeur de cette limite, d’après ce que nous
: d e \ £ « 2 avons trouvé relativement à W, elle est égale à Z, = + 5 (+ dns ne) Fe ‘5
$ 9. Jusqu'à présent nous n’avons cherché la valeur approchée des fonctions que sous la condition du minimum de la limite des erreurs dans l'intervalle donné. Mais souvent il est très important que l'erreur, pour les limites de l’intervalle, se réduise à zéro. Or, il n’est pas difficile de s’assurer que ce cas, tant que l'intervalle est assez petit, se résout aussi par les méthodes que nous venons de donner.
Soit fæ une fonction dont on cherche la valeur approchée sous la forme d’un polynome « du degré », assujéti entre les limites 4—=a—Y, 4—a+Y, aux Conditions mentionnées plus haut. Comme la différence f(x) — « doit se réduire à zéro pour &4—a—7, 4= a+, il ne restera dans le
L id séss
polynome w que » — 1 coefficients arbitraires qui, d’après la propriété du minimum que nous cherchons, seront déterminés par cette condition:
«Parmi les valeurs les plus grandes et les plus petites de la différence «fæ—u, entre les limites 4=a&œ—7Y, %—a+7Y, on trouve au moins «fois la même valeur numérique», ce qui suppose ($ 3) que pour certaine valeur de / les équations
d(fæ—u) dx 0
(fx —uÿ—Ë—= 0, ont » racines communes, comprises entre les limites —a—Y,%—a+"; par conséquent, si l’on remplace ces limites par d’autres plus étendues, æ—a—h,x—a+h, et choisies de manière à ce que pour ces limites la différence fx —u devienne égale à 7 ou —Z, les équations (20) (fz—u"—P—0, (—a+h) (x —a—R) = 0 auront n + 2 racines communes entre les limites 4—a—h, 2=a+h. Donc, pour ces limites, le polynome U'— x donne la solution des équations (2), dont nous nous sommes occupé dans les $$ précédents, et par conséquent, vice versa, la solution de ces équations nous donnera le polynome w pour certaines valeurs de &æ — y, «+ y, qu’on trouvera facilement en remarquant que, d’après la propriété du minimum cherché, les valeurs G—=a—Y,%—=4a+"7Y, Comprises entre 4 — k, a+h, vérifient l’équation
fa —u—0, et, entre ces deux valeurs de x, il y à n racines communes des équations
(fx—uÿ —P—= 0, Lee — 0.
Pour montrer une application de ce que nous venons de voir, nous allons chercher le polynome # qui, étant du degré », donne la valeur exacte de f&=k,,,4""" pour x—a—Y,æ—a+7, et ne s’écarte, entre ces limites, que le moins possible de la fonction fx —k,,, æ""". Pour cette
Nn+H1 $ x valeur de fx, et y— JA *, æ=a+hs, L— —. les équations (20) deviennent ; 2 dy ÿ —L=0, (—1) 5 —0, dont les » + 2 racines communes seront comprises entre 2=—1, 4=+1.
Or, y— Int rank = étant un polynome du degré n +1, dont
le coefficient de °°° est égal à 4.
peut avoir lieu à moins qu’on n’ait
= LEE ENT] neue
; On voit, d’après (10), que cela ne
> k(a+h2} Hi % x—a E Cd d’où, en remplaçant ar 8 par = ar nous ? Plac y D ha HA ) P ai P ht +1) obtenons — n+1 æ—a+ V(x—a}?—h\" "1 æ—a—V(x— a) —12\" "1 u—k,,,% os [( 2 ) + ( 2 ) |, l — + Enr AT is NÉ TRMMOT TAG
En passant à la détermination des valeurs de & —Y, «+ Y, pour lesquelles ce polynome donne le minimum cherché, nous remarquons que l’équation
ke PE LR et k ne Re ape 0.
qui se réduit à celle-ci:
cos (n + 1) 9 — 0,
quand on fait æ— a — h cos @, aura les racines suivantes:
she Eos In +2? 2h42)?
Or, comme dans cette série on ne trouve que les deux valeurs
a+ h cos 2
& = h. cos = on1-2?
entre lesquelles sont comprises les n racines de l’équation
Mt a FREE PR L (ee ni dx RAS dx eu
sin (n +1)
LT — TT —O pour —"— cos y, nous concluons que sin
h æ— "y, a+ y ne peuvent avoir d’autres valeurs que celles-ci:
qui se réduit à
a—y—a—hcos—, a+y—=a+hcos——,
niA In + 2?
et par conséquent, a = &, h —
En mettant ces valeurs de a et k dans la valeur trouvée de w, l’on a
us n+1 æ— a (x—a)? ÿ l UK, ,,T du ue + 4 = SN APT He 3 4 cos?
Telle est la forme générale du polynome du degré »n qui devient égal
à k,,, 2" pour æ—a—7Y, x—a+7y et s’écarte le moins possible
de cette fonction entre ces limites. Quant à la limite de ces écarts, nous avons trouvé
k is Enr pn+i Y .
ISERE he;
; Son+2
donc, la constante /, qui détermine cette limite, a la valeur suivante:
L = + kan Y01
ui
on cos? F1 n +2
Comme la différence k,,, æ"""—u, où w est un polynome arbitraire
du degré n, est la forme générale d’une fonction entière, dont le terme affecté de la plus haute puissance de x est égal à 4,,, x""", les formules 1 que nous venons de trouver nous conduisent à ce théorème:
Théorème,
Entre deux racines de l'équation
Dubé de fer CR De,
fo AT VE Br et +... = 0
x—a, &æ—bÙ, la valeur numérique de fx ne peut rester inférieure à RAP. |
k cos mn)
En traitant de la même manière le cas de fx —px+qx", y étant très À petit, nous trouvons, d’après les formules du $ 8, que, à la quantité y° près, | le polynome « du quatrième degré qui devient égal à paÿ<+ ga’ pour %——7Y, 4 = + y, et s’écarte le moins possible de cette fonction, entre = —Y,%—= +7, à la valeur suivante:
< 5p 9 11— sin 18 cos 549 4\ à Liu ( BY + 8 cost 180 ) #
5 p 4 . 31—4sin18cos540 4 (5 cost18 Ÿ 64 cosé 180 Fe:
nd nas sir den. h duré 2 Lei ic nes bd dé DR 7 US Ed
ii hd,
Quant à la limite de déviation de ce polynome de la fonction pæ°+-q7", entre z— — y, x —= + y, on la trouve égale à
p Y° Fa 7 — sin 180 cos 540 >; 16 cos 180 64 cos? 180
$ 10. D’après les formules que nous venons de trouver, il est facile de déterminer les éléments les plus avantageux du parallélogramme dans tous les cas possibles. Mais ce n’est pas le seul résultat qu’on puisse tirer de nos formules. Nous avons vu qu’elles donnent certains théorèmes d’Algèbre dont la démonstration serait, peut être, impossible à l’aide des méthodes ordinaires. Il y a aussi des questions de Géometrie dont la solution demande des méthodes d’approximation telles que celle dont nous nous sommes OCCcupé.
En voici un exemple. Soient deux courbes données, l’une contenant » paramètres arbitraires qui permettent, par leur choix convenable, de disposer à volonté des abscisses de x points d’intersection de ces deux courbes dans l'intervalle x = a — h, x — a + h. Il est évident que, dans cet intervalle, les courbes seront plus ou moins rapprochées l’une de l’autre selon la position de leurs points d’intersection. Quel est donc la disposition des points communs des deux courbes, entre 4 = a—}, x —a+h, qui rende minimum la limite de leur déviation dans cet intervalle?
Cette question tient évidemment à la méthode d’approximation dont nous nous sommes occupé dans les $$ précédents. L’application qu’on peut faire ici de nos formules donne des résultats très intéressants.
Soit y =T1(x) l’équation de la courbe avec tous ses paramètres donnés, et Y= Fr (2, 0
celle dont les » paramètres arbitraires sont choisis d’après la condition du minimum que nous cherchons, entre les limites 2—a—h,x—=a+h.
Si l’on prend » — 0, la dernière courbe devient osculatrice à la première, au point æ— a, et excepté certains points singuliers le contact ne sera que de l’ordre » — 1, de sorte qu’on aura .
(21) x es DATE — à une valeur finie,
en même temps que les équations
mms EE ——
dæ FE ae At dan—1 per LE?
n—1 F{x,h) dMIf Fe, h=f(o, LEE ER = Te
pour æ = à, h—=0.
D’après cela, en supposant que les fonctions
f(x) æf af f(œ (æ h 4 ? Êse Mer ee — dF(x,h) dd F(x,h an F'(x,h Fan, Een |: es
restent continues dans le voisinage de k— 0, æ—a, nous concluons que,
pour À assez petit, et pour une valeur de x entre les limites 4 — q — h, x — a+ h, les fonctions
ne deviennent pas infinies. De plus, on peut mettre la fonction
AM (Y—y) M F(x,h) d"f(x) dan te dan dan
sous la forme N+ Ÿ (x), en faisant pour abréger N—d" F0) df(a)
da DT") M F(x,h) dMF(ao) dMf(a) . df() mn
D’après cela, pour x pris entre 4 — a—h et x —a+h, h étant assez petit, la série de Taylor nous donne
Y—y—A+B(a—a)+C(c—a)ÿ+. . .+H(o—a) + CHE 0) op, où les quantités À, B, C,...H, N sont indépendantes de æ et dont, de plus, la dernière
N—%F@0) af
da" bé “SE
d’après (21), diffère de zéro. Quant à la fonction d (a+ (& —a)), pour les valeurs de x que nous considérons, elle devient infiniment petite en même temps que k.
Cette formule nous montre que pour x entre les limites 3 —a— À et x = à + h, à l’ordre de grandeur k" inclusivement press la valeur de Y—y sera égale à celle du polynome
A+ B (x — a) + C(x —aÿ+...+ H(x—a re (æ— a)",
et par conséquent, d’après le$ 5, le #inimum cherché n’aura lieu que dans le cas, où le polynome précédent, avec ce même degré de précision, se ré-
duit à N æ—a+V{z— a) \" æ—a—V{x—a}? —\" Re |( 2 ) + 2 ) à
ce qui suppose qu'entre les limites 4 —a—}, x—a<+h la valeur de Y — y a cette forme
re : N : (= pre (ES) + 7h,
où Z est une quantité qui devient infiniment petite en même temps que À. D’après cette valeur de Y— y, les abscisses des points d’intersection des deux courbes que nous considérons sont données par l’équation suivante:
N__[a—asvieo m6)", fa—a—v@ 0 #\" “as | ( . ) +{ < ) | 20.
EI
Or, si l’on fait
a —— sm COS ®,
cette équation devient
