IRRATIONNELLES
(Journal de mathématiques pures et appliquées. I série, T. XVIII, 1853, p. 87—111.)
Sur l'intégration des différentielles irrationnelles.
Si la différentielle De ee composée d’une fraction rationnelle fe La 6x
et d’une racine d’une fonction entière /x, s’intègre à l’aide des signes algébriques et logarithmiques, nous savons, d’après les recherches ingé-
nieuses d’Abel et de M. Liouville, que l'intégrale jee se pré-
sentera sous la forme suivante:
U +- A log V° + 4’ log V' + 4” log V” +
LE
où U, V°, V', V’,..., sont des fonctions rationnelles de x et V/ 6x; A°, À’, 4",..., sont des quantités constantes. Le terme algébrique U peut se déterminer facilement. On sait qu’il
m—1 est de la forme AC x) ” , où Pet Q sont des fonctions entières que l’on ce à l'aide des procédés suivants *):
. On cherchera le plus grand commun diviseur entre les fonctions
a da ot 88208)
29, Si les degrés des fonctions
: ce diviseur est le dénominateur Q du terme algébrique.
Qfox Q F,æ0x? m1?
*) Nous supposons que la différentielle re É est réduite de manière que Ô x ne con- V0 tient pas des facteurs d’un degré plus élévé que m — 1.
sont inférieurs à — 1, le terme algébrique est 0. Dans le cas contraire, en désignant par » le plus petit nombre supérieur au degré de ces fonctions, on trouvera le numérateur P d’après la formule
P=B,+Bx+B,+...+B,x",
où B,, B,, B,,..., B, sont des coefficients constants, dont la valeur se déterminera en cherchant à rendre le polynôme
fa" [B,+2B,xz+...+nB,a"]
4Q : F,x 0 x — EE ee æ ° ni | CB, + B,xz+B,a+ ...+8Bx|
divisible par Ÿ. et avec cette condition que le quotient ne soit pas d’un
| Fix Vox. D zQ
entre les fonctions 4x et 6'x.
Si ces conditions ne peuvent être remplies, on en conclura que l’in-
Je a Fx Vox
degré plus élevé que , D étant le plus grand commun diviseur
tégration de à l’aide des signes algébriques et logarithmiques est
impossible. Dans le cas contraire, on trouvera le terme algébrique, et si
l’on ôte sa différentielle de > le reste doit devenir intégrable à 0 6x
l’aide des seuls termes logarithmiques. C’est de cette intégration que nous allons maintenant nous occuper.
Voici les questions dont nous donnerons les solutions dans ce Mémoire:
1°. Déterminer le nombre de termes logarithmiques dans la valeur de l'intégrale donnée.
La solution de cette question, dans un cas particulier, donne la démonstration du théorème énoncé par M. Abel en ces termes:
«... le théorème suivant très-remarquable a lieu: «Lorsqu'une intégrale de la forme [ ee, où © et R sont des fonctions
entières de x, est exprimable par des logarithmes, on peut toujours l’exprimer de la manière suivante:
[OR Ag À p—avR
où À est constant et p et q des fonctions entières de x.» (Œuvres compl. tome I, page 65, ed. 1839).
2°, Trouver les conditions analytiques qui déterminent chaque terme séparément. | |
On verra, en outre, d’après la solution de ces questions, que les cas connus d’intégrabilité des différentielles binômes de la forme
a (a+ bx°')" dx,
sont les seuls où l'intégration de ces différentielles est possible par les signes algébriques et logarithmiques, s, s’, s” étant rationnels.
