IL

Nous avons vu que les termes logarithmiques dans la valeur de

l'intégrale FE 7 . sont de la forme A log P,

où V est une fonction rationnelle de æ et / 4x. Donc en faisant, pour abréger,

V 6x =A, et en désignant par

Po(A), P: (A), Pa (A), Ps (4), - .- .,

des fonctions rationnelles de æ et A, nous-aurons l’équation suivante:

fe dx

7% à —= 4° log (A) + 4'log @, (A) + 4”log #, (A) + ,

Jæ dx

Fa à contient plus de termes algé-

lorsque la valeur de l'intégrale briques.

Si nous remplaçons dans cette équation A par &A, æA,..., æ"-TA,

et si nous multiplions les résultats respectivement par 1, æ&, &?,...,a", « étant racine primitive de l’équation

x" — 1 —=0, nous trouvons une série d'équations, dont la somme sera

fx dx m—1

m[ST = 40108 [9 (A). 5 (&A) . pi (af A). 5 + A’ log [p (A). pi (a) . pi (a? A)...pi" (a"-1A)]

ee A)|

et, par conséquent,

(1) FER = Ale W+ Ale W+ Ale W+...,

où W,, W,, W,,..., sont des fonctions de la forme

p (A)p*(æA)p*(a?A) . .. * («"—*'A),

À, À,, 4,,..., des constantes.

C’est sous cette forme que nous allons examiner la valeur de l’inté-

fx dx

grale |5 + TA d Nous commencerons par prouver que la valeur de l'intégrale . étant réduite au minimum de termes, les coefficients 4,, À,, 4,,..., ne

peuvent vérifier l’équation NA,+N A, +N,A,+...—0,

dans laquelle N,, N,, N,,... sont des nombres complexes de a. En effet, si cette équation a lieu, nous trouvons