III

Soit + une valeur de x qui rende W, égale à 0 ou co. Il n’est pas difficile de s’assurer qu’on trouvera une puissance de x — #, dont le rapport à W, sera fini pour æ—#", et que l’exposant de cette puissance sera en général un nombre complexe de «&. En effet, la fonction W,, comme nous l’avons vu, est égale au produit

Po (A) .®, (&A). p,% (x? A) ...,

où ®, est une fonction algébrique. Or, si l’on développe les facteurs

Po (A), Po (&A), Po (a A), HE PE

selon les puissances de æ—x', et qu’on désigne par n°, »’, n',..., les exposants de æ— x’ dans les premiers termes, les nombres n°, »', n”,..., sont rationnels, et la somme

À ! 1.9 MN GENE ue

est l’exposant de æ—x dans le premier terme du développement de W,. D'où il suit que N°, étant égal au nombre complexe

0 Phsce N+Na+N + ...,

le rapport ae reste fini pour æ—%.

Soient N°, N',,..., les nombres complexes qui jouent le même rôle par rapport à W,, W,,.... En prenant

FRA x— x"

= À,lg @— 2)" + À, I1g (x — ge)" + À,1g @—x)"" P et retranchant terme à terme de celle-ci,

fx d Ré Al W+AlW,+zAlW,+...,

nous trouvons

TL ___ 40 N'o + A1 N' + A9 N'a + dx Frd x— x!

= A lg. + 4,18 0, + 14,

n en ce

“ne LL . .

Le second membre de cette équation étant finie pour +=, nous concluons que cette valeur de x ne rend pas infinie l’intégrale

N'o+ A, Ni +4 N +...

[Tres —* æ—x | da,

ce qui suppose que la limite de

A N'o+ AN +24 No +...

@—2)[ 0 tn 21 9 ;

pour æ= +’, est égale à zéro, et, par conséquent,

NA +NiA+N,A4,+.,.—=lim ESS

Cette équation nous prouve que les termes de la valeur de l’intégrale fx dx Fax À

des racines de l’équation

ne peuvent devenir infinis que pour une valeur de x égale à l’une

car, d’après le $ IT, la somme

sera différente de zéro, tandis que lim Es dans le cas où Fx contient le facteur x — +’, le facteur A ne pouvant contenir &æ— x’ qu’à un degré inférieur à 1 ($ I, note).

Cette équation nous prouve aussi que la limite de

x — x’) fx cp2 / ) | ne différe de zéro que T=ZXT

(æ — x) fx

) ; Fx.A ? pour

— %', ne peut être infinie.

Supposons maintenant qu’on désigne par +’, æ”,æ'”,..., 4° toutes les racines de l’équation

et par K', K”, K”,...., K° la valeur de

‘ (&æ — 2) F1 lim [ Fzx.A 4 pour 2=%,%,% z0 k ; ? ? . . . . .

L'équation que nous venons de trouver et celles qu’on obtient de la

même manière en examinant les cas où æ—x", æ”, x®, pourront s’écrire ainsi:

é=t ist i=1

D 2 NE... So NPA—KP, #0 =

où #41 est le nombre de termes de la valeur de l'intégrale (27 %, NON,

Fx 4?

N',N,",...,N9, etc., sont les nombres complexes choisis de manière que les rapports

Wo (x A vai (x gr" .….(& — 30)" me LA

See 0. e.e ee 6.6: 6 © 6e + o» © ...

restent finis pour æ—#", x”, æ”,...,2x0, et, par conséquent, pour toutes les valeurs finies de æ; car, comme nous l'avons remarqué, les racines de l'équation

Fzx—=0

sont les seules valeurs finies de x qui peuvent rendre les fonctions

NO PU: he infinies ou 0.

En changeant, dans l’équation

fa dx

7% a = Aol0g W, + 4, log W, + 4,108 W, + ...,

1 * æ en —, et en traitant le cas de z2— 0, nous trouvons de la même manière

l'équation i—+ (3) SuA=E, #—0 où Æ° est la limite de 2e à Pour &— 00, Et Ho, Ps Pas, les degrés

des fonctions W,, W, W.. FU Cette équation nous prouve, en outre, que la fonction ea ne peut être d’un degré plus élevé que — 1; car, autrement,

KO — Jim LL.

serait infinie, ce qui ne peut avoir lieu d’après l’équation trouvée.

& IV

Supposons maintenant qu’en désignant par M°, M', M",..., les

nombres complexes de &, on cherche à vérifier les équations de la forme ME MK MK +0: A,

et que l’on ne trouve que À équations de cette forme qui ne soient pas identiques entre elles par rapport à K°, K', K”,..., KV. D’après ces équations, on pourra évidemment exprimer À quantités de la série 9, RESTE

en fonctions linéaires des autres, et ces fonctions auront pour coefficients des nombres complexes de «&. Supposons donc qu’on parvienne à trouver i—=i—) i=i—)

> M° K0+9, K'— ae Me RUS @ Fr Le K-D — > M1 Kè+1.

Comme les quantités X°, K', K”,..., KŸ ne peuvent vérifier plus de À équations différentes de la forme

(5) MK +MK + M"K'+...—0, les quantités KO, K@H),,,., KO prises séparément de a NUE. RRSRADON : Re

ne pourront vérifier une équation de cette forme; car, autrement, cette équation et les À équations (4), évidemment non identiques entre elles, donneraient À + 1 équations de la forme (5), ce qui est contraire à la supposition.

D’après cela, il est facile de s’assurer que le nombre de termes, dans la valeur de l’intégrale [E ” , ne peut être au-dessous de /— +1; car,

dans ce cas, le nombre des coefficients À, À; À, EL :

serait aussi moindre que /—À + 1; et alors les / — À + 1 équations dernières de la série (2), après l'élimination de ces coefficients, donneraient au moins une équation entre K0, K%%,,,,, KŸ qui serait de la forme (5), ce qui est impossible.

Le même résultat aurait lieu si l’une de Z— À + 1 dernières équations (2) était identique aux autres par rapport à toutes les quantités A5; À, 43,... Donc, au moyen de ces équations, il est possible de trouver {— À +- 1 quantités de la série

À; À; À, ne

en fonctions des autres et des quantités K®, K%%1),..., K0; ces fonctions seront linéaires et auront pour coefficients des nombres complexes de «@. Supposons qu’on parvienne ainsi à trouver les quantités

À; À; PEN PORT et qu’on porte leurs valeurs dans l'équation

[ET = 24108 W, + À, log W, + 4,l0g W,-+ ...

Après cette substitution la valeur de l'intégrale [£ . contiendra plu-

sieurs termes avec les coefficients

À À +1) () À;-)41 Àj-1495 ..) À,.

Mais si l’on rassemble dans un seul terme tout ce qui contient le même coefficient, on n’aura que / termes, dont la forme générale sera

K® logZ ou À,logZ,

et dans lesquels A Pr P;